Calculadora del método de sustitución

Resuelve un sistema lineal de dos variables e identifica si tiene solución única, es incompatible o contiene ecuaciones dependientes.

Resolver dos ecuaciones lineales
Introduce los coeficientes de a1x + b1y = c1 y a2x + b2y = c2.

Acerca de la resolución por sustitución

El método de sustitución resuelve ecuaciones simultáneas expresando una variable en función de la otra e introduciendo esa expresión en la segunda ecuación. En un sistema lineal de dos variables, ambas ecuaciones deben cumplirse en el mismo punto. Una solución única es un par ordenado cuyos valores de x e y satisfacen las dos ecuaciones. En una gráfica, ese par es la intersección de las rectas. Escribe las ecuaciones como a1x + b1y = c1 y a2x + b2y = c2. Para sustituir a mano, elige una variable con un coeficiente no nulo conveniente. Por ejemplo, despeja x en la primera ecuación: x = (c1 - b1y) / a1. Reemplaza x en la segunda por esa expresión, resuelve la ecuación de una variable para hallar y y sustitúyela en cualquiera de las originales para obtener x. Por último, comprueba ambos valores en ambas ecuaciones. Esta calculadora usa fórmulas de determinantes matemáticamente equivalentes para que el cálculo no dependa del coeficiente más fácil de despejar. El determinante es a1b2 - a2b1. Si no es cero, las rectas tienen direcciones distintas y una única solución. Las coordenadas son x = (c1b2 - c2b1) dividido entre el determinante e y = (a1c2 - a2c1) dividido entre el determinante. Son los mismos valores que da una sustitución correcta. Un determinante cero requiere una interpretación especial. Si una ecuación completa es múltiplo de la otra, ambas representan la misma recta y todos sus puntos son solución. El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Si los coeficientes de las variables son proporcionales pero las constantes no, las rectas son paralelas y no se cruzan. Ese sistema incompatible no tiene solución. El panel distingue estos casos en lugar de intentar dividir entre cero. Los sistemas lineales modelan precios y cantidades, mezclas, distancias y velocidades, presupuestos, geometría analítica y muchas otras relaciones. Conserva los signos negativos de los coeficientes e introduce cero cuando una variable no aparezca. Se aceptan coeficientes decimales, aunque las fracciones exactas pueden producir resultados decimales periódicos. El redondeo solo afecta a la visualización; los cálculos usan toda la precisión numérica de JavaScript. Verifica siempre un resultado importante sustituyendo x e y en las ecuaciones originales.

Ejemplos del método de sustitución

Cada sistema muestra la relación entre sus ecuaciones y su intersección.

SistemaSoluciónComprobación
x + y = 5; 2x - y = 1(2, 3)Se cumplen ambas ecuaciones
2x + 3y = 7; x - y = 1(2, 1)Sustituye x = y + 1
x + y = 4; x - y = 0(2, 2)Las rectas se cruzan en un punto

Cómo usar la calculadora de sustitución

  1. Ordena ambas ecuaciones en la forma ax + by = c.
  2. Introduce los coeficientes de x e y y la constante de la primera ecuación.
  3. Introduce los tres valores correspondientes de la segunda ecuación.
  4. Selecciona Resolver por sustitución y consulta el tipo de solución y las coordenadas.
  5. Comprueba las coordenadas sustituyéndolas en ambas ecuaciones originales.

Preguntas frecuentes sobre sustitución

¿Cuándo es más fácil usar sustitución?

Es especialmente cómoda cuando una variable tiene coeficiente 1 o -1. También resulta útil si una ecuación ya está despejada para una variable.

¿Qué significa que no haya solución?

Significa que las ecuaciones representan rectas paralelas distintas. Sus coeficientes son proporcionales, pero sus constantes son incompatibles.

¿Qué significa tener infinitas soluciones?

Que ambas ecuaciones describen la misma recta, aunque una parezca una versión multiplicada de la otra. Cada punto de esa recta satisface ambas ecuaciones.

¿Puede un coeficiente ser cero?

Sí, cero indica que esa variable no aparece en la ecuación. El sistema aún puede tener una solución única si las dos ecuaciones determinan ambas variables.

¿Cómo compruebo la respuesta?

Reemplaza x e y en cada ecuación original por los valores mostrados. El lado izquierdo debe ser igual a la constante indicada.