Calculadora de volumen de un paralelepípedo

Un paralelepípedo es un sólido de seis caras, todas ellas paralelogramos. Puede verse como una caja estirada o inclinada cuyas aristas no necesariamente forman ángulos rectos. Tres vectores con el mismo origen describen las direcciones y longitudes de tres aristas adyacentes. Contienen toda la información necesaria para calcular el volumen, incluso cuando el sólido está inclinado en el espacio tridimensional. La operación utilizada es el producto triple escalar o producto mixto. Primero se calcula el producto vectorial de b y c. El vector obtenido es perpendicular al plano de esas dos aristas y su módulo es el área del paralelogramo que generan. Después se calcula el producto escalar de a con ese vector perpendicular. Esto proyecta la arista restante sobre la dirección perpendicular y equivale a multiplicar el área de la base por la altura perpendicular. Se toma el valor absoluto porque invertir la orientación puede volver negativo el determinante, pero el volumen físico no puede ser negativo. En coordenadas, se colocan los tres vectores en una matriz de tres por tres y se calcula su determinante. La calculadora desarrolla esa expresión directamente. Si a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz) y c = (cx, cy, cz), el producto triple con signo combina los productos diagonales con sus términos opuestos. Su valor absoluto da unidades cúbicas. Los vectores ortogonales alineados con los ejes producen el conocido resultado de largo por ancho por alto. Un resultado cero tiene un significado geométrico importante. Indica que los tres vectores son coplanares o que al menos uno depende de los demás. No pueden encerrar una región realmente tridimensional, por lo que el paralelepípedo degenera en un plano, una línea o un punto. Un determinante no nulo muy pequeño puede indicar vectores casi coplanares, algo relevante en análisis numérico y geometría. Este cálculo aparece en cálculo vectorial, geometría analítica, física, cristalografía y gráficos por computadora. En ingeniería se usan determinantes para transformar volúmenes entre sistemas de coordenadas, mientras que en física se emplean productos triples en cálculos de torque y orientación. Si los vectores representan longitudes físicas, introduce componentes con unidades coherentes. Si están en metros, el resultado está en metros cúbicos. Se permiten componentes negativas porque indican dirección; solo son inválidas las que faltan o no son numéricas. El resultado mostrado es exacto para entradas enteras dentro de los límites habituales de coma flotante y se redondea en cálculos decimales. Conserva suficiente precisión de origen cuando los vectores procedan de mediciones. La calculadora solo obtiene el volumen geométrico; el área superficial, los ángulos entre aristas o la masa deben calcularse aparte.