Calculadora de inverso modular

Un inverso multiplicativo de un entero a módulo m es un entero x cuyo producto con a deja resto 1 al dividirlo entre m. En términos de congruencias, a por x es congruente con 1 módulo m. Esta calculadora encuentra el menor inverso no negativo mediante el algoritmo de Euclides extendido y muestra una comprobación por multiplicación. El módulo debe ser un entero mayor que uno. El inverso existe exactamente cuando a y m son coprimos, es decir, cuando su máximo común divisor es 1. Si comparten un factor mayor, cualquier producto que incluya a sigue siendo divisible por ese factor módulo m y nunca puede dar resto 1. Por ejemplo, 6 no tiene inverso módulo 15 porque su máximo común divisor es 3. En cambio, el inverso de 3 módulo 11 es 4, ya que 3 por 4 es 12 y deja resto 1 al dividir entre 11. El algoritmo de Euclides extendido no solo calcula el máximo común divisor. También encuentra coeficientes x e y tales que ax más my es igual a ese divisor. Cuando vale 1, reducir x módulo m proporciona el inverso modular. Si x es negativo, sumar suficientes múltiplos de m lo sitúa en el rango estándar de cero a m menos uno sin cambiar su clase de congruencia. Los inversos modulares sustituyen a la división en aritmética modular. No se puede aplicar directamente la división ordinaria a clases de residuos porque distintos enteros representan el mismo residuo. Dividir entre a módulo m significa multiplicar por el inverso de a, siempre que exista. Esta técnica es esencial para resolver congruencias lineales, simplificar fracciones modulares, aplicar el teorema chino del resto y derivar numerosos algoritmos de teoría de números. La criptografía utiliza ampliamente los inversos modulares. La generación de claves RSA calcula el inverso de un exponente módulo un valor relacionado con la función indicatriz de Euler, mientras que las curvas elípticas usan inversos al evaluar fórmulas de puntos sobre cuerpos finitos. La teoría de códigos, las sumas de comprobación, los generadores pseudoaleatorios y el álgebra computacional también dependen de cálculos eficientes de inversos. Las implementaciones criptográficas reales usan rutinas cuidadosamente diseñadas de enteros grandes y tiempo constante, no la aritmética numérica del navegador, aunque la teoría subyacente es la misma. El inverso es único módulo m, no como entero ordinario. Si 4 es un inverso de 3 módulo 11, entonces 15, menos 7 y cualquier número que difiera de 4 en un múltiplo de 11 representan el mismo residuo inverso. La calculadora muestra 4 porque el menor representante no negativo es más fácil de comparar y reutilizar. Para verificar el resultado, multiplica el entero original por el inverso mostrado, divide entre el módulo y comprueba que el resto sea 1. La misma regla sirve para entradas negativas, ya que los residuos pueden normalizarse al rango estándar. Si la herramienta indica que no existe inverso, calcula por separado el máximo común divisor: cualquier valor superior a 1 demuestra el impedimento.