Calculadora de inverso multiplicativo modular

Un inverso multiplicativo módulo m es un entero que deshace una multiplicación en aritmética modular. Para un entero a, su inverso x cumple que a por x deja resto 1 al dividirse entre m. Suele escribirse que a por x es congruente con 1 módulo m. Por ejemplo, 3 por 4 es 12, y 12 deja resto 1 al dividirse entre 11; por tanto, 4 es el inverso multiplicativo de 3 módulo 11. No todos los pares de enteros tienen inverso. La condición necesaria y suficiente es que a y m sean coprimos, es decir, que su máximo común divisor sea 1. Considera 6 módulo 9: todos los múltiplos de 6 comparten el factor 3 con 9, así que ninguno deja resto 1. En cambio, 7 y 26 tienen máximo común divisor 1, y el inverso de 7 módulo 26 es 15 porque 105 deja resto 1 al dividirse entre 26. La calculadora comprueba el máximo común divisor antes de mostrar la respuesta. El algoritmo extendido de Euclides encuentra el inverso con eficiencia. El algoritmo ordinario divide y calcula restos repetidamente para obtener el máximo común divisor. La versión extendida también registra coeficientes para expresar ese divisor como combinación entera de los valores originales. Si el máximo común divisor es 1, el coeficiente de a es un inverso. Como puede ser negativo, la calculadora lo reduce módulo m y muestra el menor representante no negativo, entre cero y m menos uno. Los inversos modulares permiten dividir en un sistema de congruencias. Para resolver a por x congruente con b módulo m, multiplica b por el inverso de a, siempre que exista. Son importantes en congruencias lineales, el teorema chino del resto, fracciones modulares, funciones hash, detección de errores y criptografía de clave pública. Por ejemplo, generar claves RSA incluye hallar el inverso de un exponente módulo un valor de la función totiente. Las implementaciones criptográficas reales usan bibliotecas de precisión arbitraria rigurosamente auditadas, no números ordinarios del navegador. Introduce solo enteros y un módulo mayor que 1. Se admiten valores negativos de a porque todo entero negativo tiene un residuo mínimo no negativo equivalente módulo m. La calculadora usa enteros seguros de JavaScript, adecuados para ejercicios de clase y problemas de teoría de números de tamaño moderado. Muestra el máximo común divisor y una comprobación por multiplicación para confirmar que el inverso produce resto 1. Para entradas criptográficas muy grandes, usa software diseñado para enteros grandes y cálculos sensibles a la seguridad.