Calculadora de descomposición LU

La descomposición LU expresa una matriz cuadrada A como el producto de L por U. L es triangular inferior: todos los elementos por encima de su diagonal principal son cero. U es triangular superior: todos los elementos por debajo de su diagonal principal son cero. En la convención de Doolittle utilizada aquí, todos los elementos diagonales de L valen uno. Multiplicar los dos factores mostrados reconstruye la matriz original, salvo el redondeo habitual de coma flotante. La factorización se construye mediante eliminación gaussiana. Cada multiplicador que normalmente elimina un elemento situado debajo de un pivote se guarda en L. La matriz escalonada que se va formando se convierte en U. Esta organización conserva el trabajo de eliminación en lugar de descartarlo. Una vez obtenidas L y U, se puede reutilizar la misma matriz de coeficientes para resolver sistemas con muchos términos independientes distintos, de forma mucho más eficiente que repetir la eliminación desde el principio. Para resolver A × x = b, primero resuelve L × y = b por sustitución hacia adelante. Después resuelve U × x = y por sustitución hacia atrás. Los sistemas triangulares son sencillos porque cada ecuación sucesiva introduce una sola incógnita nueva. Los factores LU también sirven para calcular determinantes: si la diagonal de L es unitaria, el determinante es el producto de los elementos diagonales de U. La inversión de matrices y las simulaciones numéricas también usan esta estructura como componente básico. Esta calculadora acepta una notación matricial compacta. Separa los valores de cada fila con comas o espacios y coloca un punto y coma entre filas. Cada fila debe tener tantos elementos como filas haya, porque esta forma de descomposición LU requiere una matriz cuadrada. Se admiten valores negativos y decimales. Los resultados solo se redondean al mostrarlos; la eliminación usa aritmética de doble precisión de JavaScript. La implementación emplea descomposición de Doolittle sin pivoteo, por lo que cada pivote encontrado debe ser distinto de cero. Algunas matrices perfectamente invertibles comienzan con un pivote cero y necesitan una permutación de filas antes de factorizarse. En una biblioteca numérica completa, esa operación se representa mediante una matriz de permutación P en la relación P × A = L × U. Si aparece un error de pivote, reordena las filas adecuadas antes de introducir la matriz o utiliza un solucionador con pivoteo. Para ejemplos didácticos bien condicionados y matrices con pivotes diagonales utilizables, la factorización mostrada es clara y se puede comprobar al instante.