Calculadora de descomposición QR

La descomposición QR expresa una matriz A como el producto de Q por R. Las columnas de Q son ortonormales: cada una tiene longitud uno y las distintas columnas son perpendiculares entre sí. R es triangular superior, por lo que todas las entradas situadas debajo de su diagonal principal son cero. Para una matriz cuadrada de rango completo, multiplicar las matrices Q y R mostradas reconstruye la matriz original, salvo pequeñas diferencias por el redondeo decimal. Esta calculadora realiza esa factorización para una matriz real de 2 por 2. El cálculo aplica el proceso clásico de Gram-Schmidt a las columnas de A. Primero mide la longitud euclídea de la primera columna. Al dividirla por su longitud se obtiene el primer vector unitario de Q, mientras que esa longitud pasa a ser la primera entrada diagonal de R. Después se proyecta la segunda columna sobre el primer vector unitario. Al restar la proyección queda un vector perpendicular, que se normaliza para formar la segunda columna de Q. El coeficiente de proyección y la longitud del segundo vector completan la matriz triangular superior R. La factorización QR es una herramienta central del álgebra lineal numérica. Se utiliza en ajustes por mínimos cuadrados, donde un sistema sobredeterminado tiene más ecuaciones que incógnitas, y en algoritmos para hallar valores propios. Las transformaciones ortogonales son ventajosas numéricamente porque conservan las longitudes y suelen amplificar menos los errores de redondeo que las operaciones directas. Aunque esta página se centra en dos dimensiones para facilitar la revisión de cada paso, la misma idea de ortogonalización de columnas se extiende a matrices rectangulares mayores. Las columnas de entrada deben ser linealmente independientes para que esta calculadora produzca dos vectores unitarios. Una primera columna nula no se puede normalizar; si la segunda es un múltiplo de la primera, no queda ninguna dirección perpendicular tras restar la proyección. Esa matriz tiene rango deficiente y no admite la forma QR completa utilizada aquí. Las descomposiciones QR también pueden diferir en los signos: cambiar el signo de una columna de Q y de la fila correspondiente de R no altera su producto. Esta calculadora elige longitudes diagonales no negativas en R, lo que ofrece una convención estable y predecible para comparar resultados.