Calculadora de descomposición polar

La descomposición polar expresa una matriz real A como un producto QP. Para una matriz cuadrada no singular, Q es ortogonal y P es simétrica positiva definida. Una matriz ortogonal conserva longitudes y ángulos, por lo que representa una rotación o reflexión. El factor positivo estira el espacio en direcciones principales perpendiculares sin añadir rotación. Esta separación es el equivalente matricial de escribir un número complejo no nulo como una magnitud multiplicada por una dirección unitaria. Esta calculadora trabaja con matrices reales no singulares de dos por dos. Primero forma la matriz de Gram simétrica, multiplicando la transpuesta de A por A. Su raíz cuadrada positiva es P. Para una matriz positiva definida de dos por dos, la raíz cuadrada se obtiene directamente de su traza y determinante, sin aproximaciones iterativas. Después se calcula Q multiplicando A por la inversa de P. Las entradas mostradas se redondean a seis decimales, mientras los cálculos internos mantienen la doble precisión de JavaScript. Los factores cumplen identidades útiles para comprobar la respuesta. La transpuesta de Q multiplicada por Q da la identidad, salvo errores de redondeo. P es igual a su transpuesta y tiene valores propios positivos. Finalmente, el producto de Q por P reconstruye la matriz original A. Para la identidad, ambos factores son la identidad. Si una matriz combina un cuarto de vuelta con escalas distintas en los ejes, Q aísla el giro y P registra los dos factores de estiramiento. La descomposición polar se utiliza en mecánica, gráficos, análisis numérico, optimización y estadística. En mecánica de medios continuos separa la deformación en rotación rígida y estiramiento puro. En gráficos por computadora permite extraer la rotación de una transformación que incluye escala o cizallamiento. El problema de Procrustes ortogonal utiliza el factor polar para hallar la matriz ortogonal más cercana, y los algoritmos numéricos emplean iteraciones polares cuando importa conservar la estructura geométrica. Una matriz singular también puede admitir una descomposición polar, pero su factor ortogonal puede no ser único y requiere convenciones adicionales. Esta calculadora interactiva limita la entrada a matrices no singulares para que P sea invertible y la factorización no sea ambigua. Las matrices muy mal condicionadas pueden amplificar el error de coma flotante si una dirección de estiramiento está cerca de cero. Usa el resultado como apoyo educativo y de cálculo, y verifica los trabajos numéricos críticos con software de precisión arbitraria o de mayores dimensiones matriciales.