Calculadora de exponenciación modular

La exponenciación modular calcula el resto de elevar una base entera a un exponente entero no negativo y dividir entre un módulo positivo. La expresión a^b mod m pide el único resto entre 0 y m - 1 congruente con a^b. El cálculo directo puede volverse inviable muy pronto porque las potencias alcanzan tamaños enormes, aunque el resto final sea pequeño. Esta calculadora evita construir ese gigantesco entero intermedio. El método eficiente se conoce como exponenciación binaria, cuadrados sucesivos o elevar al cuadrado y multiplicar. Se escribe el exponente en binario y se procesan sus bits. Primero se reduce la base módulo m. En cada paso se eleva al cuadrado el factor actual módulo m. Si el bit correspondiente del exponente es uno, ese factor se multiplica por el resultado y se vuelve a reducir inmediatamente módulo m. Al reducir cada valor intermedio, los valores se mantienen por debajo del cuadrado del módulo. El algoritmo solo necesita un número de pasos proporcional al logaritmo del exponente. Por ello, una potencia con exponente mil millones requiere unas treinta etapas de cuadrados, en lugar de mil millones de multiplicaciones repetidas. El recuento mostrado distingue los cuadrados de las multiplicaciones seleccionadas asociadas a los bits de valor uno del exponente. Un exponente cero devuelve correctamente 1 mod m. La aritmética modular considera equivalentes los números con el mismo resto. Por ejemplo, 17 y 5 son congruentes módulo 12 porque ambos dejan resto 5. También se admite una base negativa, que primero se normaliza a un residuo no negativo. En esta calculadora el exponente debe ser no negativo. Los exponentes modulares negativos requieren hallar un inverso multiplicativo modular, que solo existe si la base y el módulo son coprimos. Las potencias modulares son fundamentales en teoría de números y criptografía moderna. El cifrado y las firmas RSA elevan mensajes a grandes potencias módulo un número compuesto. El intercambio de claves Diffie-Hellman y muchos sistemas de logaritmo discreto usan potencias módulo un primo. La misma operación también sirve para pruebas de primalidad, generadores seudoaleatorios, sumas de comprobación, patrones cíclicos y problemas de programación competitiva. Los tres campos se procesan como enteros exactos de tamaño arbitrario, no como números de coma flotante. Así, los valores que superan el límite habitual de enteros seguros de JavaScript conservan todos sus dígitos. El módulo debe ser mayor que uno y no se deben introducir comas ni puntos decimales. Para comprobarlo manualmente, reduce primero la base y verifica exponentes pequeños mediante multiplicaciones sucesivas, tomando el resto en cada paso.