Calculadora de combinación lineal

Multiplica dos vectores por escalares y suma sus componentes correspondientes.

Calcular una combinación lineal
Introduce vectores de igual dimensión con valores separados por comas.

Acerca de las combinaciones lineales

Una combinación lineal se obtiene multiplicando vectores por números escalares y sumando los vectores resultantes. Para dos vectores v1 y v2 con escalares a y b, la expresión es av1 + bv2. Esta calculadora realiza la operación componente a componente. Si v1 es (x1, y1, z1) y v2 es (x2, y2, z2), el resultado es (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2). La misma regla se aplica a vectores de cualquier dimensión finita, siempre que ambos tengan el mismo número de componentes. Los escalares controlan el tamaño y el sentido de cada contribución. Un escalar mayor que uno alarga el vector, un valor entre cero y uno lo acorta y uno negativo invierte su sentido. Un escalar cero elimina por completo la contribución de ese vector. Como la suma empareja posiciones correspondientes, un vector bidimensional no puede combinarse directamente con uno tridimensional. La calculadora detecta dimensiones incompatibles y pide datos adecuados en lugar de descartar un componente. Las combinaciones lineales son fundamentales en álgebra lineal. El espacio generado por una colección de vectores es el conjunto de todas sus combinaciones lineales posibles. Un vector pertenece a ese espacio si alguna elección de coeficientes escalares lo reproduce. Los vectores de una base son especialmente útiles porque cada vector de su espacio se expresa como una combinación lineal única cuando la base es linealmente independiente. Los sistemas de coordenadas, la multiplicación de matrices, los sistemas de ecuaciones, la mezcla de señales, los gráficos por computadora y los modelos de datos usan esta idea. Para comprobar un resultado, multiplica cada componente del primer vector por el primer escalar, haz lo mismo con el segundo y suma los productos correspondientes. Mantén el orden de los componentes durante todo el cálculo. Se permiten valores decimales y negativos, y el resultado mostrado solo se redondea para facilitar la lectura. Para combinar más de dos vectores, calcula los dos primeros y usa el resultado como una entrada en el siguiente cálculo con el próximo vector. Este proceso repetido sigue la propiedad asociativa de la suma vectorial y produce el mismo vector final.

Ejemplos

Cada fila aplica la multiplicación por escalares antes de sumar los vectores.

ExpresiónResultadoInterpretación
2(1, 2, 3) - (4, 5, 6)(-2, -1, 0)Resta el segundo vector al doble del primero.
3(2, -1) + 0.5(4, 6)(8, 0)Las dos sumas de componentes se calculan por separado.
-2(1, 0) + 4(0, 1)(-2, 4)Los vectores de la base canónica fijan cada coordenada.

Cómo usar la calculadora

  1. Introduce el multiplicador del primer vector.
  2. Introduce el primer vector con sus componentes separados por comas.
  3. Introduce el segundo escalar y un segundo vector de igual dimensión.
  4. Selecciona Calcular combinación para sumar los componentes escalados.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un escalar?

Un escalar es un número que multiplica cada componente de un vector. Cambia su magnitud y puede invertir su sentido.

¿Deben tener los vectores la misma dimensión?

Sí, la suma vectorial empareja componentes correspondientes. Los vectores con distinto número de componentes no tienen una suma estándar componente a componente.

¿Los coeficientes pueden ser negativos o decimales?

Sí, cualquier número real finito puede usarse como escalar. Los negativos invierten el sentido y los decimales modifican la escala proporcionalmente.

¿Qué hace un coeficiente cero?

Multiplicar un vector por cero produce el vector nulo. Por tanto, ese vector no aporta nada a la combinación final.

¿Qué relación tiene con el espacio generado?

El espacio generado es el conjunto de vectores obtenibles con todas las elecciones de coeficientes. Cada resultado de esta calculadora pertenece al espacio generado por los dos vectores de entrada.