Calculadora de independencia lineal

Un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando los únicos coeficientes que hacen que su combinación lineal sea el vector cero son todos cero. Para tres vectores v1, v2 y v3, la independencia significa que c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 obliga a que c1 = c2 = c3 = 0. Si alguna elección de coeficientes no todos nulos también produce el vector cero, el conjunto es linealmente dependiente. En términos prácticos, un vector dependiente no añade una dirección nueva porque puede expresarse como combinación de los demás. Esta calculadora coloca los tres vectores de entrada en una matriz y utiliza eliminación de Gauss para hallar su rango. Las operaciones elementales por filas revelan el número de pivotes sin alterar las relaciones lineales entre los vectores. Cuando el rango coincide con el número de vectores, cada uno aporta un pivote nuevo y el conjunto es independiente. Si el rango es menor que tres, al menos un vector es redundante y el conjunto es dependiente. Los vectores deben tener la misma dimensión para que sus componentes ocupen posiciones de coordenadas coherentes. La dimensión impone un límite inmediato. Tres vectores en un espacio bidimensional deben ser dependientes porque la matriz correspondiente tiene rango máximo dos. En tres dimensiones o más, tres vectores pueden ser independientes, pero no necesariamente lo son. Los vectores de la base estándar (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son independientes. En cambio, (1, 2, 3) y (2, 4, 6) apuntan sobre la misma recta, por lo que cualquier conjunto que contenga ambos ya tiene una relación directa de múltiplo escalar. La independencia lineal determina si las coordenadas son únicas, si una matriz puede ser invertible y si las ecuaciones contienen información redundante. Es fundamental para resolver sistemas, construir bases, analizar transformaciones, ajustar modelos y separar señales. Para interpretar la salida, compara el rango indicado con el número de vectores introducidos. Un rango completo de tres confirma independencia; cualquier rango menor confirma dependencia. Se admiten entradas decimales, aunque los valores extremadamente cercanos a cero se tratan como cero numérico para evitar pivotes falsos por redondeo de coma flotante.