Calculadora de ángulo entre dos vectores: 2D y 3D

El ángulo entre dos vectores es una cantidad fundamental en álgebra lineal y geometría que expresa la separación angular entre dos cantidades direccionales colocadas cola con cola en un origen común. A diferencia de los ángulos entre líneas en la geometría euclidiana clásica, el ángulo entre vectores es siempre el menor de los dos ángulos posibles, limitado al rango de 0° a 180° (o 0 a π radianes). Esta convención garantiza un resultado único e inequívoco para cualquier par de vectores distintos de cero. El cálculo se basa en el producto escalar, una de las operaciones más importantes del álgebra lineal. Para dos vectores A y B, el producto escalar se define algebraicamente como la suma de los productos de sus componentes correspondientes: A · B = Ax·Bx + Ay·By en dos dimensiones, o A · B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz en tres dimensiones. El producto escalar también tiene una interpretación geométrica: A · B = |A| × |B| × cos(θ), donde |A| y |B| son las magnitudes (longitudes) euclidianas de los vectores y θ es el ángulo entre ellos. Combinando estas dos definiciones y resolviendo θ se obtiene la fórmula fundamental: θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|)). Esta fórmula tiene varias propiedades elegantes. Si el producto escalar es cero, entonces cos(θ) = 0, que significa θ = 90°, y los vectores son perpendiculares (ortogonales). Si el producto escalar es igual al producto de las magnitudes, entonces cos(θ) = 1 y θ = 0°, es decir, los vectores apuntan en la misma dirección (paralelos). Si el producto escalar es igual al producto negativo de las magnitudes, entonces cos(θ) = −1 y θ = 180°, es decir, los vectores apuntan en direcciones opuestas (antiparalelos). La fórmula se generaliza naturalmente a espacios de n dimensiones simplemente extendiendo las sumas de los componentes. Los ángulos entre vectores surgen en toda la física y la ingeniería. En mecánica clásica, el trabajo realizado por una fuerza F sobre un desplazamiento d es W = F · d = |F| × |d| × cos(θ), donde θ es el ángulo entre los vectores fuerza y ​​desplazamiento. Cuando θ = 0° la fuerza está completamente alineada con el movimiento y realiza el máximo trabajo; cuando θ = 90° la fuerza es perpendicular al movimiento y no realiza trabajo. En los gráficos por computadora, la iluminación de superficies utiliza el ángulo entre la normal de la superficie y la dirección de la luz entrante para calcular qué tan brillantemente se ilumina una superficie mediante la ley del coseno de Lambert. En el aprendizaje automático, la similitud del coseno entre dos vectores de características está directamente relacionada con el ángulo entre ellos y mide qué tan similares son sus direcciones independientemente de la magnitud. Numéricamente, la función arccos puede perder precisión cuando su argumento está muy cerca de 1 or −1 (correspondiente a vectores casi paralelos o antiparalelos). En software de alta precisión, esto se maneja fijando el argumento coseno al rango válido [−1, 1] antes de pasarlo a arccos, lo que esta calculadora hace automáticamente. Para problemas de 2D en los que se necesita un ángulo con signo (distinguiendo en sentido horario de antihorario), se prefiere la función atan2 con el producto cruzado al enfoque del producto escalar, aunque esta calculadora informa el ángulo sin signo consistente con la definición matemática.