Permutationsrechner

Eine Permutation ist eine Anordnung, bei der die Reihenfolge zählt. Erhalten drei Finalisten Gold, Silber und Bronze, führt eine andere Medaillenreihenfolge bei denselben Personen zu einem anderen Ergebnis. Das unterscheidet sie von Kombinationen, bei denen nur die Zugehörigkeit zählt. Dieser Rechner zählt geordnete Auswahlen aus n verfügbaren Elementen für r Positionen und unterstützt sowohl das Modell ohne Wiederholung als auch eines mit Wiederholung. Ohne Wiederholung darf jedes Element nur einmal verwendet werden. Für die erste Position gibt es n Möglichkeiten, für die zweite n minus eins und so weiter, bis r Positionen besetzt sind. Das Produkt ergibt P(n,r) = n! / (n-r)!. Werden aus fünf Elementen drei geordnet ausgewählt, gilt 5 × 4 × 3 = 60. Der Rechner wertet dieses fallende Produkt direkt aus, vermeidet unnötige Fakultätsberechnungen und liefert bei praxisüblichen Eingaben dieselbe exakte ganze Zahl. Mit Wiederholung kann jede Position jedes der n Elemente enthalten, auch bereits verwendete. Nach der Produktregel gibt es für jede der r Positionen n Möglichkeiten, insgesamt also n hoch r. Ein dreistelliger Code aus vier erlaubten Symbolen hat 4 × 4 × 4 = 64 mögliche geordnete Codes. Dieses Modell passt zu PINs, Zeichenfolgen, wiederholten Versuchen, Ziehen mit Zurücklegen und Situationen, in denen nach jeder Auswahl alle Optionen erneut verfügbar sind. Permutationen kommen in Wahrscheinlichkeit, Informatik, Operations Research, Ablaufplanung und Alltag vor. Sie zählen Zieleinläufe, Sitzordnungen, Aufgabenfolgen, Routen, Rangwahlzettel, Passwortkandidaten und Zuweisungen verschiedener Rollen. Zuerst muss geklärt werden, ob die Reihenfolge wichtig ist. Alice und Ben für einen Ausschuss ohne Rollen auszuwählen ist eine Kombination. Alice den Vorsitz und Ben das Schriftführeramt zuzuweisen unterscheidet sich vom umgekehrten Fall; solche Rollenzuweisungen sind Permutationen. n und r müssen nichtnegative ganze Zahlen sein, da sie Anzahlen darstellen. Ohne Wiederholung darf r nicht größer als n sein, sonst fehlen unterschiedliche Elemente für die Positionen. Für r = 0 gibt es ein Ergebnis: die leere Anordnung. Die Anzahlen wachsen sehr schnell. Außerhalb des sicheren Ganzzahlbereichs kann der Browser daher irgendwann einen angenäherten Gleitkommawert anzeigen. Für gewöhnliche Unterrichts-, Wahrscheinlichkeits- und Planungsfragen liefert das Ergebnis eine schnelle, transparente Zählung. Bevor du das Ergebnis als Nenner einer Wahrscheinlichkeit nutzt, prüfe, ob alle Anordnungen gleich wahrscheinlich sind und die Wiederholungsregel zum Versuch passt. Verbotene Positionen, vorgeschriebene Symbole, ununterscheidbare Objekte oder Wiederholungen in der ursprünglichen Sammlung erfordern zusätzliche Methoden. Für die hier beschriebenen Standardfälle von nPr bietet der Rechner die übliche Formel und eine sofortige Antwort.