Rechner für Normalapproximation

Der Rechner für Normalapproximation schätzt eine binomiale Wahrscheinlichkeit, indem er eine diskrete binomiale Zufallsvariable durch eine stetige normalverteilte Zufallsvariable ersetzt. Bei einem Binomialexperiment mit n unabhängigen Versuchen und konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p hat die exakte Verteilung den Mittelwert np und die Varianz np(1 - p). Liegt die Verteilung nicht zu nahe an einer ihrer Grenzen, kann eine Normalkurve mit gleichem Mittelwert und gleicher Standardabweichung eine schnelle und nützliche Näherung liefern. Da die Binomialverteilung nur ganzzahlige Werte annimmt, die Normalverteilung jedoch stetig ist, verwendet dieser Rechner eine Stetigkeitskorrektur. Für die Wahrscheinlichkeit von genau x Erfolgen berechnet er die Fläche unter der Normalkurve zwischen x - 0.5 und x + 0.5. Diese um eine halbe Einheit versetzten Grenzen bilden das vollständige Intervall ab, das zur diskreten Anzahl gehört. Ohne diese Korrektur kann die Genauigkeit deutlich sinken, besonders bei nur mäßig großen Stichproben. Eine gängige Faustregel prüft, ob np und n(1 - p) beide mindestens 5 betragen. Diese Größen sind die erwarteten Anzahlen von Erfolgen und Misserfolgen. Sind beide ausreichend groß, ist die Binomialverteilung meist glatt genug und weit genug von ihren Endpunkten entfernt, um durch die Normalkurve vernünftig angenähert zu werden. Der Rechner warnt, wenn eine der Größen unter 5 liegt. Die Rechnung wird dadurch nicht ungültig, doch eine exakte Binomialberechnung ist dann vorzuziehen. Der angezeigte z-Wert beschreibt den Abstand von x zum Mittelwert in Einheiten der Standardabweichung. Die Wahrscheinlichkeit wird dagegen mit den korrigierten Endpunkten berechnet, nicht mit diesem einzelnen z-Wert. Diese Unterscheidung ist wichtig: Der z-Wert hilft bei der Lageinterpretation, während die zwei korrigierten z-Werte die Fläche für eine genaue Erfolgsanzahl bestimmen. Die Näherung eignet sich besonders für große Qualitätskontrollstichproben, Umfragemodelle, wiederholte unabhängige Tests und Unterrichtsaufgaben, bei denen direkte Fakultätsformeln umständlich werden. Das zugrunde liegende Experiment muss die Binomialannahmen erfüllen. Die Versuchszahl ist fest, jeder Versuch hat zwei relevante Ausgänge, die Versuche sind unabhängig und p bleibt konstant. Bei Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit oder bei veränderlichen Wahrscheinlichkeiten können diese Annahmen verletzt sein. Für seltene Ereignisse mit sehr kleinem p kann eine Poisson-Approximation geeigneter sein. Wenn hohe Präzision erforderlich ist, sollte stets Software für exakte binomiale Wahrscheinlichkeiten bevorzugt werden.