Rechner für Bertrands Paradoxon

Diese Variante von Bertrands Paradoxon ist das bekannte Drei-Schachtel-Problem der bedingten Wahrscheinlichkeit, auch Bertrands Schachtelparadoxon genannt. Drei äußerlich gleiche Schachteln enthalten unterschiedliche Münzpaare: zwei Goldmünzen in der ersten, eine Gold- und eine Silbermünze in der zweiten und zwei Silbermünzen in der dritten. Eine Schachtel wird zufällig ausgewählt und daraus zufällig eine Münze gezogen. Sobald feststeht, dass sie aus Gold ist, wird gefragt, wie wahrscheinlich auch die verbleibende Münze aus Gold ist. Es liegt nahe, die Silber-Silber-Schachtel auszuschließen und die übrigen beiden als gleich wahrscheinlich anzusehen. So käme man auf ein Halb. Diese Überlegung übersieht jedoch, wie wahrscheinlich die Beobachtung ist. Die Gold-Gold-Schachtel kann auf zwei verschiedene Arten Gold liefern, die Gold-Silber-Schachtel nur auf eine. Unter der Bedingung, Gold gesehen zu haben, gibt es drei gleich wahrscheinliche Goldpositionen. Zwei stammen aus der Gold-Gold-Schachtel, daher beträgt die exakte Wahrscheinlichkeit für eine weitere Goldmünze 2/3, also etwa 66.67%. Der Rechner wendet diese exakte theoretische Wahrscheinlichkeit auf die gewählte Anzahl bedingter Versuche an. Die Versuchszahl multipliziert mit 2/3 ergibt die erwartete Anzahl von Fällen, in denen die verdeckte Münze aus Gold ist. Ein Erwartungswert darf gebrochen sein, eine beobachtete Anzahl muss jedoch ganzzahlig sein. Daher wird auf das nächste ganze Ergebnis gerundet. Es werden keine Zufallsstichproben erzeugt; wiederholte Berechnungen bleiben deterministisch. Eine echte Monte-Carlo-Simulation würde um diesen Erwartungswert schwanken und sich bei wachsender Versuchszahl meist einem Anteil von zwei Dritteln annähern. Das Paradoxon vermittelt eine allgemeine Regel bedingter Wahrscheinlichkeit: Mögliche Erklärungen müssen danach gewichtet werden, wie leicht sie die Beobachtung hervorbringen. Dieses Prinzip liegt dem Satz von Bayes zugrunde und begegnet uns bei Diagnostik, Screening, Zuverlässigkeitsanalyse und Klassifikation. Auch die Stichprobenannahmen müssen klar sein. Jede Schachtel muss anfangs dieselbe Auswahlchance haben, ebenso jede Münze innerhalb der gewählten Schachtel. Andere Auswahlgewichte ändern die Antwort. Probiere mehrere Versuchszahlen aus, um die feste theoretische Wahrscheinlichkeit von der veränderlichen erwarteten Anzahl zu unterscheiden. Tatsächliche Versuchsergebnisse können durch Zufallsschwankungen abweichen.