Geburtstagsparadoxon-Rechner

Das Geburtstagsparadoxon fragt, wie wahrscheinlich es ist, dass mindestens zwei Personen einer Gruppe am selben Tag Geburtstag haben. Das Ergebnis überrascht, weil man oft nur eine ausgewählte Person mit allen anderen vergleicht. Tatsächlich werden aber sämtliche möglichen Paare verglichen. Eine Gruppe mit 23 Personen enthält 253 Paare. Damit gibt es viele Gelegenheiten für eine Übereinstimmung, obwohl der Kalender 365 mögliche Geburtstage bietet. Im Standardmodell liegt die Wahrscheinlichkeit für einen gemeinsamen Geburtstag schon bei 23 Personen etwas über 50 Prozent. Am einfachsten beginnt die Berechnung beim Gegenereignis: Alle Personen haben an unterschiedlichen Tagen Geburtstag. Die erste Person darf an jedem beliebigen Tag Geburtstag haben. Die zweite muss dieses Datum vermeiden, was den Faktor 364/365 ergibt. Die dritte muss zwei bereits belegte Daten vermeiden, also folgt der Faktor 363/365. Diese Multiplikation wird für die gesamte Gruppe fortgesetzt. Zieht man das Produkt von eins ab, erhält man die Wahrscheinlichkeit mindestens einer Übereinstimmung. Als Formel: P(match) = 1 - (365/365)(364/365)...((365-n+1)/365), wobei n die Gruppengröße ist. Dieser Rechner verwendet das übliche vereinfachte Geburtstagsmodell. Alle 365 Kalendertage gelten als gleich wahrscheinlich, der Schalttag wird ausgelassen und die Geburten werden als unabhängig angenommen. Reale Geburtsdaten sind nicht vollkommen gleichmäßig verteilt, da Jahreszeiten, Feiertage, geplante Entbindungen und demografische Muster die täglichen Geburtenraten beeinflussen. Diese Unterschiede machen Übereinstimmungen meist etwas wahrscheinlicher. Für Wahrscheinlichkeitsunterricht, Bewerbungsfragen, Demonstrationen im Unterricht und grobe Planung ist das Standardmodell jedoch passend. Die Wahrscheinlichkeit steigt schnell. Bei 10 Personen beträgt sie etwa 11.7 Prozent, bei 23 etwa 50.7 Prozent, bei 30 etwa 70.6 Prozent und bei 50 mehr als 97 Prozent. Um 99 Prozent zu überschreiten, braucht eine Gruppe 57 Personen. Dieser rasche Anstieg veranschaulicht ein allgemeineres Kollisionsprinzip, das bei Hashing, Kryptografie, Datenbankkennungen und Qualitätskontrolle genutzt wird: Werden viele Elemente einer begrenzten Zahl von Kategorien zugeordnet, treten Duplikate viel früher mit hoher Wahrscheinlichkeit auf, als die Intuition vermuten lässt. Verstehe das Ergebnis als Wahrscheinlichkeit, nicht als Vorhersage darüber, welche Personen oder welches Datum übereinstimmen werden. Eine Wahrscheinlichkeit von 50.7 Prozent bedeutet, dass unter vielen vergleichbaren Gruppen mit 23 Personen etwas mehr als die Hälfte mindestens einen gemeinsamen Geburtstag hätte. Eine einzelne Gruppe kann keine Übereinstimmung, genau ein passendes Paar oder mehrere wiederholte Daten haben. Der Rechner beantwortet unter den genannten Annahmen exakt die Frage nach mindestens einer Übereinstimmung.