Prandtl-Meyer-Expansionsrechner

Ein Prandtl-Meyer-Expansionsfächer entsteht, wenn eine Überschallströmung um eine konvexe Ecke nach außen umgelenkt wird. Anders als eine Stoßwelle, die die Überschallströmung verdichtet und abbremst, ist ein idealer Expansionsfächer stetig und isentrop. Die Strömung beschleunigt auf eine höhere Machzahl, während statischer Druck, statische Temperatur und Dichte sinken. Dieser Rechner bestimmt für ein kalorisch perfektes Gas den Zustand nach der Expansion aus Anfangsmachzahl und Umlenkwinkel. Die Prandtl-Meyer-Funktion ordnet jeder Überschallmachzahl bei einem gewählten Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten einen Winkel zu. Der Funktionswert nach der Expansion entspricht dem Anfangswert plus Expansions-Umlenkwinkel. Da die Umkehrfunktion keinen einfachen elementaren Ausdruck besitzt, löst der Rechner die Endmachzahl numerisch durch Bisektion. Das Verfahren ist deterministisch und konvergiert für gültige Winkel unterhalb der theoretischen maximalen Expansion sehr genau. Für Luft bei üblichen Temperaturen wird Gamma häufig mit 1.4 angenähert. Andere Gase und Hochtemperaturströmungen können andere Werte erfordern, da molekulare Freiheitsgrade und chemische Effekte die Wärmekapazität verändern. In diesem idealen Gasmodell muss Gamma größer als eins sein. Bei sehr hohen Temperaturen können Dissoziation, Schwingungen und veränderliche Wärmekapazitäten das Modell mit konstantem Gamma ungenau machen. Nach der Bestimmung der Endmachzahl wendet der Rechner isentrope Ruhegrößenbeziehungen an. Totaltemperatur und Totaldruck bleiben bei einer idealen Expansion konstant, während sich die statischen Größen mit der Machzahl ändern. Das Temperaturverhältnis ist der Ruhefaktor vor der Expansion geteilt durch den Faktor danach. Druck- und Dichteverhältnis ergeben sich durch Potenzieren dieses Quotienten mit von Gamma abhängigen Exponenten. Der Machwinkel ist der Arkussinus des Kehrwerts der Machzahl. Das Modell setzt eine stationäre, zweidimensionale, reibungsfreie, adiabate Überschallströmung ohne Stöße im Fächer voraus. Reale Ecken weisen Grenzschichten, endliche Geometrie, Viskosität und mögliche Strömungsablösung auf. Eine Expansion mit anschließender Verdichtung kann zudem Wellenwechselwirkungen erzeugen, die diese isolierte Berechnung nicht abbildet. Der eingegebene Winkel ist der Betrag einer Umlenkung in Expansionsrichtung; eine komprimierende Umlenkung erfordert stattdessen eine Schrägstoßanalyse. Prandtl-Meyer-Berechnungen werden beim Entwurf von Überschalldüsen, in der Außenaerodynamik, der Windkanalanalyse, der Luft- und Raumfahrtlehre und zur vorläufigen Abschätzung von Wellenmustern eingesetzt. Wende die Verhältnisse auf bekannte statische Zustandsgrößen vor der Expansion an, nicht auf Ruhegrößen. Detaillierte Flugzeug-, Raketen- oder sicherheitskritische Entwürfe müssen mit geeigneten Gasmodellen, numerischer Strömungsmechanik, Versuchsdaten und qualifizierter aerodynamischer Analyse validiert werden.