Umkreis-Rechner

Bestimmen Sie Mittelpunkt, Radius, Fläche und Gleichung des eindeutigen Kreises durch die drei Eckpunkte eines Dreiecks.

Dreiecksumkreis aus Koordinaten

Geben Sie die x- und y-Koordinaten dreier nicht kollinearer Eckpunkte ein.

x-Koordinate von Eckpunkt A

y-Koordinate von Eckpunkt A

x-Koordinate von Eckpunkt B

y-Koordinate von Eckpunkt B

x-Koordinate von Eckpunkt C

y-Koordinate von Eckpunkt C

Über Umkreise

Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt, der Umkreismittelpunkt, ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Da jeder Eckpunkt denselben Abstand zu diesem Punkt hat, ist dieser gemeinsame Abstand der Umkreisradius. Jedes nicht entartete Dreieck besitzt genau einen Umkreis, unabhängig davon, ob es spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist. Dieser Rechner arbeitet direkt mit kartesischen Koordinaten. Er setzt die drei Punkte in die allgemeine Kreisgleichung ein und löst die daraus gebildeten linearen Differenzgleichungen nach den Mittelpunktkoordinaten auf. Die Determinante entspricht dem Doppelten des orientierten Koordinatenausdrucks des Dreiecks. Ist sie null, liegen die Punkte auf einer Geraden und bestimmen keinen endlichen Kreis. Andernfalls ist der Radius der euklidische Abstand vom berechneten Mittelpunkt zu einem beliebigen Eckpunkt, und die Fläche ist Pi mal Radius zum Quadrat. Die Lage des Umkreismittelpunkts zeigt nützliche geometrische Eigenschaften. Beim spitzwinkligen Dreieck liegt er innen. Beim rechtwinkligen Dreieck liegt er genau in der Mitte der Hypotenuse, sodass diese der Kreisdurchmesser ist. Beim stumpfwinkligen Dreieck liegt er außerhalb. Diese Eigenschaften ermöglichen schnelle visuelle Ergebniskontrollen und verbinden Koordinatenalgebra mit der klassischen Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Die Reihenfolge der Koordinaten beeinflusst den endgültigen Kreis nicht. Das Vertauschen von Eckpunkten kann das Vorzeichen der Determinante umkehren, Mittelpunkt und Radius bleiben jedoch gleich. Dezimale und negative Koordinaten sind erlaubt, sodass sich verschobene oder skalierte Figuren ebenso wie einfache Lehrbuchdreiecke bearbeiten lassen. Ergebnisse werden nur zur Anzeige gerundet; intern verwendet die Berechnung JavaScript-Werte mit doppelter Genauigkeit. Umkreise kommen in geometrischen Beweisen, Vermessung, Computergrafik, Netzgenerierung, Navigation und technischer Konstruktion vor. Der Mittelpunkt kann einen zu drei Punkten gleich weit entfernten Anlagenstandort bestimmen; die Kreisgleichung unterstützt Kollisionsprüfungen und geometrische Modellierung. Bei sehr großen Koordinaten oder Messungen mit zertifizierten Toleranzen sollten Sie geeignete Einheiten beibehalten und Rundungen unabhängig prüfen. Bei üblichen Unterrichts- und Entwurfsaufgaben liefern drei gemessene Eckpunkte sofort eine nachvollziehbare Beschreibung des Kreises durch diese Punkte.

Beispiele für Umkreise

Diese Koordinaten zeigen rechtwinklige, symmetrische und verschobene Dreiecke.

Eckpunkte	Kreis	Beobachtung
A(0,0), B(4,0), C(0,3)	Mittelpunkt (2,1.5), Radius 2.5	Die Mitte der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist der Umkreismittelpunkt.
A(-1,0), B(1,0), C(0,1)	Mittelpunkt (0,0), Radius 1	Alle drei Eckpunkte liegen auf dem Einheitskreis.
A(1,1), B(5,1), C(1,4)	Mittelpunkt (3,2.5), Radius 2.5	Eine gemeinsame Verschiebung aller Punkte verschiebt den Kreis, ohne seinen Radius zu ändern.

So berechnen Sie einen Umkreis

Geben Sie die x- und y-Koordinate von Eckpunkt A ein.
Geben Sie beide Koordinaten der Eckpunkte B und C ein.
Prüfen Sie, ob die drei Eckpunkte verschieden sind und nicht auf einer Geraden liegen.
Wählen Sie Umkreis berechnen, um Mittelpunkt, Radius, Fläche und Gleichung anzuzeigen.

Häufige Fragen zum Umkreis

Hat jedes Dreieck einen Umkreis?

Jedes nicht entartete Dreieck hat genau einen Umkreis. Drei kollineare Punkte bilden kein Dreieck und bestimmen keinen Kreis mit endlichem Radius.

Wo liegt der Umkreismittelpunkt?

Er ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Er liegt im spitzwinkligen Dreieck innen, beim rechtwinkligen auf der Hypotenuse und beim stumpfwinkligen außerhalb.

Wie wird der Umkreisradius berechnet?

Nach der Bestimmung des Mittelpunkts wird dessen geradliniger Abstand zu einem beliebigen Eckpunkt berechnet. Abgesehen von Rundungsfehlern sind die drei Abstände gleich.

Welche Einheiten haben die Ergebnisse?

Der Radius hat dieselbe Einheit wie die eingegebenen Koordinaten. Die Fläche verwendet deren Quadrat, während die Mittelpunktkoordinaten die ursprüngliche Einheit behalten.

Warum erscheint ein Fehler wegen kollinearer Punkte?

Ein endlicher Kreis kann nicht durch drei verschiedene Punkte derselben Geraden verlaufen. Wählen Sie drei Eckpunkte, die eine Dreiecksfläche ungleich null einschließen.