Werte auf dem Einheitskreis
Gib einen Winkel ein und wähle Grad oder Radiant.
Über den Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius eins und Mittelpunkt im Ursprung einer Koordinatenebene. Jeder Winkel bestimmt einen Punkt auf seiner Kreislinie. Die waagerechte Koordinate dieses Punktes ist der Kosinus, die senkrechte der Sinus. Der Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus, sofern der Kosinus nicht null ist. Dieses geometrische Modell verbindet Winkel, Koordinaten, periodische Bewegung und trigonometrische Funktionen in einem Bild.
Dieser Rechner akzeptiert Winkel in Grad oder Radiant. Grad teilen eine volle Umdrehung in 360 Teile. Radiant messen die Bogenlänge im Verhältnis zum Radius; eine volle Umdrehung entspricht zwei Pi Radiant. Bei Auswahl von Grad rechnet der Rechner den eingegebenen Wert in Radiant um, bevor er die üblichen Sinus- und Kosinusfunktionen anwendet. Anschließend zeigt er den Punkt als geordnetes Paar sowie Sinus, Kosinus und Tangens, gerundet auf sechs Nachkommastellen.
Winkel können positiv, negativ oder größer als eine volle Umdrehung sein. Trigonometrische Funktionen sind periodisch, daher ergeben Winkel mit demselben Endschenkel dieselben Koordinaten. Beispielsweise enden 30 Grad, 390 Grad und minus 330 Grad am selben Punkt. Bei 90 und 270 Grad ist der Kosinus null, sodass der Tangens eine Division durch null enthält und als nicht definiert erscheint. Sehr kleine Gleitkommareste nahe exakten Nullwerten werden für eine sinnvollere Anzeige bereinigt.
Der Einheitskreis ist grundlegend für Geometrie, Analysis, Physik, Ingenieurwesen und Signalanalyse. Er hilft, Vorzeichen in den Quadranten, Kehrwertfunktionen, Identitäten, Wellen, Drehungen und komplexe Zahlen zu erklären. Lernende können besondere Winkel prüfen oder ungewohnte Winkel untersuchen. Fachleute können eine Winkeleingabe schnell in normierte kartesische Komponenten umwandeln. Dezimalwerte sind praktisch, doch bei symbolischer Mathematik bleiben exakte Formen wie ein Halb oder Wurzelausdrücke wichtig. Nutze den Rechner als numerische Ergänzung zu den geometrischen Definitionen und kläre vor der Deutung des Ergebnisses stets, ob die Aufgabe Grad oder Radiant verlangt.
Häufig gestellte Fragen
Was sind Einheitskreis-Koordinaten?
Die Koordinaten sind der Kosinus und der Sinus des Winkels. Der zugehörige Punkt liegt immer auf einem Kreis mit Radius eins.
Wann ist der Tangens nicht definiert?
Der Tangens ist nicht definiert, wenn der Kosinus null ist. Auf dem Einheitskreis geschieht das bei ungeraden Vielfachen von 90 Grad.
Was ist der Unterschied zwischen Grad und Radiant?
Grad teilen eine volle Umdrehung in 360 Einheiten, während Radiant die Bogenlänge mit dem Radius vergleichen. Eine volle Umdrehung entspricht zwei Pi Radiant.
Kann ich einen negativen Winkel eingeben?
Ja, negative Winkel drehen sich von der positiven waagerechten Halbachse aus im Uhrzeigersinn. Die üblichen periodischen Regeln der Trigonometrie gelten weiterhin.
Warum werden manche Ergebnisse gerundet?
Die meisten trigonometrischen Werte sind irrational und lassen sich nicht als endliche Dezimalzahlen schreiben. Der Rechner rundet angezeigte Werte auf sechs Nachkommastellen.