Rechner für die Schnittgerade zweier Ebenen

Zwei nicht parallele Ebenen im dreidimensionalen Raum schneiden sich in einer Geraden. Dieser Rechner nimmt jede Ebene in der Standardform ax + by + cz + d = 0 entgegen und liefert einen Punkt auf der gemeinsamen Geraden, einen Richtungsvektor und eine vektorielle Parametergleichung. Die vier Koeffizienten beschreiben Ausrichtung und Versatz der jeweiligen Ebene. Werden alle Koeffizienten einer Gleichung mit derselben von null verschiedenen Zahl multipliziert, bleibt die Ebene unverändert. Die Richtung der Schnittgeraden ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der beiden Ebenennormalen. Eine Ebene der Form ax + by + cz + d = 0 hat den Normalenvektor (a, b, c). Ein zu beiden Normalen senkrechter Vektor ist zu beiden Ebenen parallel. Daher liefert n1 kreuz n2 eine gültige Geradenrichtung. Anschließend setzt der Rechner eine Koordinate fest und löst die verbleibenden zwei Gleichungen gemeinsam, um einen geeigneten Punkt auf der Geraden zu finden. Jedes von null verschiedene skalare Vielfache des angezeigten Richtungsvektors beschreibt dieselbe geometrische Gerade; auch ein anderer Punkt kann zur gleichen Lösung gehören. Ist das Kreuzprodukt der Nullvektor, sind die Normalen parallel. Dann sind die Ebenen entweder verschieden und schneiden sich nicht oder identisch und teilen unendlich viele Geraden. In keinem Fall gibt es eine eindeutige Schnittgerade. Der Rechner meldet diesen Sachverhalt, statt ein Ergebnis zu erfinden. Sehr kleine Werte werden sorgfältig behandelt, damit durch Gleitkommaarithmetik keine negative Null angezeigt wird. Schnittgeraden kommen in analytischer Geometrie, Computergrafik, CAD, Strukturmodellierung und mehrdimensionaler Analysis vor. Sie können das Ergebnis prüfen, indem Sie den angezeigten Punkt in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzen. Addieren Sie ein beliebiges Vielfaches des Richtungsvektors zu diesem Punkt, muss auch jedes entstehende Koordinatentripel beide Ebenengleichungen erfüllen. Die Parameterform eignet sich besonders zum Bestimmen von Punkten, für Schnittprüfungen mit anderen Objekten oder zur Umwandlung in die symmetrische Form, sofern alle Richtungskomponenten von null verschieden sind.