Rechner für Kleinste-Quadrate-Regressionsgerade

Die Kleinste-Quadrate-Regressionsgerade, auch Ausgleichsgerade genannt, ist die Gerade, welche die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen jedem beobachteten Datenpunkt und der Geraden minimiert. Für einen Datensatz gepaarter (x, y)-Beobachtungen hat die Regressionsgerade die Form ŷ = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Durch das Quadrieren der Residuen vor dem Addieren werden große Abweichungen stärker als kleine bestraft und positive sowie negative Fehler können sich nicht gegenseitig aufheben. Die Formeln für Steigung und Achsenabschnitt werden abgeleitet, indem die gesamte quadratische Abweichung nach m und b partiell abgeleitet und gleich null gesetzt wird. Das Ergebnis lautet: m = (n·Σxy − Σx·Σy) / (n·Σx² − (Σx)²) und b = (Σy − m·Σx) / n, wobei n die Anzahl der Datenpunkte ist. Dieser Rechner verwendet diese exakten geschlossenen Ausdrücke; das Ergebnis ist daher mathematisch präzise und erfordert keine iterative Näherung. Der Korrelationskoeffizient r misst, wie eng die Daten um die Regressionsgerade liegen. Er reicht von −1 bis +1. Ein Wert nahe +1 weist auf einen starken positiven linearen Zusammenhang hin (mit zunehmendem x steigt y proportional); ein Wert nahe −1 auf einen starken negativen linearen Zusammenhang; ein Wert nahe 0 deutet auf wenig oder keinen linearen Zusammenhang hin. Das Bestimmtheitsmaß R² = r² gibt den Anteil der Varianz von y an, der durch x erklärt wird. Beispielsweise bedeutet R² = 0.90, dass die Regressionsgerade 90% der Streuung der y-Werte erklärt. Die Kleinste-Quadrate-Regression wird in Wissenschaft, Technik, Wirtschaft, Sozialwissenschaften und maschinellem Lernen eingesetzt. Typische Anwendungen sind die Vorhersage von Verkäufen aus Werbeausgaben, die Modellierung des Zusammenhangs zwischen Temperatur und Energieverbrauch, die Kalibrierung von Instrumenten, das Anpassen von Trendlinien an Zeitreihendaten sowie die Grundlage für komplexere Modelle wie multiple lineare Regression und polynomiale Regression. Denken Sie bei der Interpretation daran, dass Korrelation keine Kausalität bedeutet: Ein hoher r-Wert besagt, dass die beiden Variablen sich linear gemeinsam verändern, aber nicht zwingend, dass eine die andere verursacht. Außerdem ist die Regressionsgerade nur für Interpolation innerhalb des Bereichs Ihrer beobachteten x-Werte gültig; eine weit darüber hinausgehende Extrapolation kann unzuverlässige Vorhersagen liefern. Schließlich können wenige einflussreiche Ausreißer die Regressionsgerade deutlich verschieben. Prüfen Sie stets zusätzlich zu den Kennzahlen ein Streudiagramm, um offensichtliche Anomalien zu erkennen. Dieser Rechner akzeptiert eine beliebige Anzahl gepaarter Datenpunkte, mindestens jedoch zwei. Geben Sie die x-Werte in ein Feld und die zugehörigen y-Werte, durch Kommas getrennt, in das andere Feld ein. Die Ausgabe enthält Regressionsgleichung, Steigung, y-Achsenabschnitt, Korrelationskoeffizient, R² sowie die Mittelwerte von x und y.