Kugelkoordinaten-Rechner

Kugelkoordinaten beschreiben einen Punkt im dreidimensionalen Raum durch eine Entfernung und zwei Winkel statt durch drei senkrecht zueinander stehende Abstände. Dieser Rechner wandelt kartesische Koordinaten x, y und z in Radius, Azimut und Polarwinkel um. Der Azimut wird hier in der xy-Ebene von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen, der Polarwinkel von der positiven z-Achse nach unten. Diese Konvention muss angegeben werden, da einige Fachgebiete statt des Polarwinkels einen Höhenwinkel verwenden. Der radiale Abstand ist die geradlinige Entfernung vom Ursprung zum Punkt. Er ergibt sich als Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate von x, y und z, also der dreidimensionalen Erweiterung des Satzes von Pythagoras. Der Radius ist stets nichtnegativ. Im Ursprung ist er null, beide Richtungswinkel sind jedoch undefiniert. Daher verlangt der Rechner einen Punkt außerhalb des Ursprungs. Der Azimut wird mit dem Arkustangens mit zwei Argumenten aus y und x berechnet. Anders als der gewöhnliche Arkustangens von y geteilt durch x erkennt diese Funktion den richtigen Quadranten und funktioniert auch bei x gleich null. Das Ergebnis wird auf den Bereich von null Grad einschließlich bis 360 Grad ausschließlich normiert. Auf der positiven x-Achse beträgt der Azimut null, auf der positiven y-Achse 90 Grad, auf der negativen x-Achse 180 Grad und auf der negativen y-Achse 270 Grad. Der Polarwinkel ist der Arkuskosinus von z geteilt durch den Radius. Er reicht von null Grad an der positiven z-Achse bis 180 Grad an der negativen z-Achse; 90 Grad entspricht der xy-Ebene. Wenn deine Anwendung einen von der xy-Ebene nach oben gemessenen Höhenwinkel nutzt, ziehe den Polarwinkel von 90 Grad ab. Mathematik, Physik, Geografie, Robotik und Computergrafik benennen diese Winkel teilweise unterschiedlich. Prüfe daher die erwartete Konvention, bevor du Werte überträgst. Alle Winkel werden in Grad mit sechs Nachkommastellen angezeigt, während intern mit voller Gleitkommagenauigkeit gerechnet wird. Negative kartesische Koordinaten werden unterstützt und ergeben automatisch die passende Richtung. Kugelkoordinaten sind besonders hilfreich bei radialer Symmetrie, etwa bei Feldern um eine Punktquelle, Planetenpositionen, Kameraausrichtungen oder Integralen über eine Kugel. Komplizierte kartesische Beziehungen lassen sich damit in einfachere Ausdrücke aus Entfernung und Richtung überführen.