Rechner für kubische Gleichungen

Eine kubische Gleichung ist eine Polynomgleichung mit dem höchsten Exponenten drei. Ihre Standardform enthält die Koeffizienten a, b, c und d, wobei der führende Koeffizient ungleich null ist. Zählt man komplexe Nullstellen und Vielfachheiten mit, hat jede kubische Gleichung genau drei Nullstellen. Je nach Koeffizienten sind dies drei verschiedene reelle Werte, reelle Werte mit Mehrfachnullstellen oder ein reeller Wert und ein komplex konjugiertes Paar. Dieser Rechner nutzt die klassischen Grundgedanken der Cardano-Formel. Zunächst werden alle Koeffizienten durch den führenden Koeffizienten geteilt, sodass das Polynom normiert ist. Eine Substitution entfernt anschließend den quadratischen Term und erzeugt eine reduzierte kubische Gleichung. Zwei abgeleitete Größen, üblicherweise p und q genannt, bestimmen eine Diskriminante. Eine positive Diskriminante liefert eine reelle und zwei komplex konjugierte Nullstellen. Eine negative Diskriminante liefert drei verschiedene reelle Nullstellen, die mit einer trigonometrischen Form ohne unnötige komplexe Zwischenwerte berechnet werden. Eine Diskriminante von null weist auf Mehrfachnullstellen hin. Komplexe Nullstellen werden mit Realteil und einem mit i versehenen Imaginärteil angezeigt. Da die ursprünglichen Koeffizienten reell sind, treten nichtreelle Nullstellen als konjugierte Paare auf: Ihre Realteile stimmen überein, ihre Imaginärteile haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ergebnisse werden für die Anzeige gerundet. Beim Einsetzen einer gerundeten irrationalen Nullstelle kann daher ein winziger Rest bleiben. Exakte ganzzahlige Nullstellen erscheinen ohne nachgestellte Dezimalnullen. Kubische Gleichungen beschreiben Volumen, Bewegung, Optimierung, Schnittpunkte, Strömungsverhalten und viele weitere naturwissenschaftliche oder technische Zusammenhänge. Sie entstehen auch beim Faktorisieren höhergradiger Polynome und beim Bestimmen von Eigenwerten dreidimensionaler Systeme. Bringen Sie vor der Eingabe alle Terme auf eine Seite und fassen Sie gleiche Potenzen zusammen. Geben Sie für fehlende Terme null ein. Bei x hoch drei plus 1 gilt beispielsweise a gleich 1, b und c gleich 0 sowie d gleich 1. Werden alle Koeffizienten mit derselben von null verschiedenen Konstante multipliziert, ändern sich die Nullstellen nicht. Der Rechner gibt alle drei Lösungen aus, damit Sie das Polynom faktorisieren, Mehrfachnullstellen prüfen oder numerische Analysen fortsetzen können.