Betragsgleichungsrechner
Lösen Sie Gleichungen der Form |ax + b| = c sofort mit ausführlichem Rechenweg.
Geben Sie den Koeffizienten a, die Konstante b und den Wert c ein, um x zu bestimmen. Der Rechner behandelt Fälle ohne Lösung, mit einer Lösung und mit zwei Lösungen.
Betragsgleichungsrechner
Lösen Sie Gleichungen der Form |ax + b| = c sofort mit ausführlichem Rechenweg.
Über den Betragsgleichungsrechner
Eine Betragsgleichung ist eine mathematische Gleichung, die einen Betragsausdruck enthält. Der Betrag einer Zahl, geschrieben als |x|, bezeichnet ihren Abstand von null auf der Zahlengeraden. Da ein Abstand nie negativ ist, ist |x| für jede reelle Zahl x stets größer oder gleich null. Beispielsweise gilt |5| = 5 und |−5| = 5, weil sowohl 5 als auch −5 genau 5 Einheiten von null entfernt sind.
Dieser Rechner löst Gleichungen in der Standardform |ax + b| = c. Dabei ist a der Koeffizient von x (und muss ungleich null sein), b ein konstanter Term, c der Wert auf der rechten Seite und x die gesuchte Variable. Zu verstehen, wann solche Gleichungen Lösungen besitzen und wie viele es sind, gehört zu den grundlegenden Fähigkeiten der Algebra.
Der Lösungsweg hängt vollständig vom Wert c ab. Ist c negativ, gibt es keine reelle Lösung, denn ein Betrag kann niemals einer negativen Zahl entsprechen: Unabhängig vom eingesetzten x ist |ax + b| immer null oder positiv. Ist c genau null, gibt es exakt eine Lösung: ax + b muss null sein, also gilt x = −b/a. Ist c positiv, kann der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche positiv oder negativ sein und dennoch denselben Betrag c ergeben. Daraus entstehen zwei lineare Gleichungen: ax + b = c und ax + b = −c. Ihre Lösungen lauten x₁ = (c − b)/a und x₂ = (−c − b)/a.
Betragsgleichungen kommen in der Mathematik und in praktischen Anwendungen häufig vor. In Technik und Fertigung werden Toleranzvorgaben oft damit ausgedrückt. Beispielsweise begrenzt |Durchmesser − Sollwert| = Toleranz den zulässigen Bereich eines Werkstücks. In der Physik modellieren Betragsgleichungen symmetrische Phänomene um Gleichgewichtspunkte. In der Finanzwelt beschreiben sie zulässige Abweichungen von einem Zielwert oder Budget. Temperaturregelungen nutzen die Betragsform, um bei einem bestimmten Abstand vom Sollwert die Heizung oder Kühlung einzuschalten.
Ein häufiger Fehler beim Lösen von Hand ist, den negativen Fall zu vergessen. Oft wird nur ax + b = c gelöst und die ebenso gültige Lösung aus ax + b = −c übersehen. Ein weiterer häufiger Fehler ist der Versuch, eine Gleichung mit c < 0 zu lösen, obwohl sie keine reelle Lösung hat. Prüfen Sie daher immer zuerst den Wert c, bevor Sie die beiden Fälle aufstellen. Rechenfehler beim Lösen der entstehenden linearen Gleichungen lassen sich vermeiden, indem Sie die Antworten zur Kontrolle in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Dieser Rechner führt alle Prüfungen automatisch durch und liefert klare, exakte Ergebnisse für jede eingegebene Kombination aus a, b und c.
Beispiele für Betragsgleichungen
Typische Betragsgleichungen mit Beispielen für keine, eine und zwei Lösungen.
| Gleichung | Lösung | Erklärung |
|---|---|---|
| |2x − 3| = 7 | x = 5 oder x = −2 | Zwei Lösungen: 2x − 3 = 7 ergibt x = 5; 2x − 3 = −7 ergibt x = −2. |
| |3x + 6| = 0 | x = −2 | Eine Lösung: c = 0 bedeutet 3x + 6 = 0, also x = −2. |
| |x − 4| = −3 | Keine reelle Lösung | Keine Lösung: c = −3 < 0. Beträge sind niemals negativ. |
| |−2x + 4| = 6 | x = −1 oder x = 5 | Zwei Lösungen: −2x + 4 = 6 ergibt x = −1; −2x + 4 = −6 ergibt x = 5. |
So verwenden Sie den Betragsgleichungsrechner
- Geben Sie den Koeffizienten a ein, der x innerhalb der Betragsstriche multipliziert. Er darf nicht null sein.
- Geben Sie die Konstante b ein, die innerhalb des Betrags zu ax addiert wird. Jede reelle Zahl einschließlich null ist möglich.
- Geben Sie den Wert c auf der rechten Seite ein. Das Vorzeichen von c bestimmt die Anzahl der Lösungen.
- Klicken Sie auf „Lösungen berechnen“. Der Rechner prüft c und liefert keine, eine oder zwei Lösungen mit exakten Werten.
- Klicken Sie auf „Rechner zurücksetzen“, um alle Felder zu leeren und neu zu beginnen.
Häufige Fragen zu Betragsgleichungen
Wie viele Lösungen hat eine Betragsgleichung?
Das hängt von c ab. Für c < 0 gibt es keine reelle Lösung. Für c = 0 gibt es genau eine Lösung x = −b/a. Für c > 0 gibt es gewöhnlich zwei Lösungen: x = (c − b)/a und x = (−c − b)/a.
Warum haben Betragsgleichungen manchmal zwei Lösungen?
Weil sowohl ein positiver als auch ein negativer Wert innerhalb der Betragsstriche dasselbe nicht negative Ergebnis liefern. Zum Beispiel gilt |5| = 5 und |−5| = 5. Bei |ax + b| = c mit c > 0 sind daher ax + b = c und ax + b = −c gültig und ergeben zwei verschiedene Werte für x.
Was geschieht, wenn c negativ ist?
Es gibt keine reelle Lösung. Der Betrag jedes reellen Ausdrucks ist immer ≥ 0 und kann daher keiner negativen Zahl entsprechen. Eine Gleichung wie |2x + 1| = −4 hat in den reellen Zahlen keine Lösung.
Kann ich den Rechner für Brüche oder Dezimalzahlen verwenden?
Ja. Geben Sie Dezimalwerte für a, b und c ein. Der Rechner akzeptiert alle reellen Zahlen und gibt für jeden Lösungsfall exakte Dezimalergebnisse aus.
Was ist, wenn der Koeffizient a null ist?
Bei a = 0 wird der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche zu einer Konstanten (|b| = c), und x entfällt. Dies ist keine gewöhnliche Betragsgleichung in x mehr; deshalb muss a für diesen Rechner ungleich null sein.
Wie kann ich meine Lösung überprüfen?
Setzen Sie jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Ersetzen Sie x durch das Ergebnis und prüfen Sie, ob der Betrag der linken Seite c entspricht. Sind beide Seiten gleich, ist die Lösung richtig.