Fehlerfunktionsrechner

Die Fehlerfunktion, geschrieben als erf(x), ist eine spezielle mathematische Funktion, die immer dann natürlich auftritt, wenn eine gaußsche, glockenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung beteiligt ist. Sie ist als Integral der Gaußfunktion von 0 bis x definiert und so skaliert, dass erf(∞) = 1 gilt. Explizit lautet sie erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt. Da dieses Integral keine geschlossene Form durch elementare Funktionen besitzt, sind für seine Berechnung numerische Verfahren oder Reihenentwicklungen nötig – genau das leistet dieser Rechner. Die Fehlerfunktion ist eng mit der Normalverteilung verbunden. Ist X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen −a und a liegt, gleich erf(a/√2). Allgemeiner beträgt bei einer Normalverteilung mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable innerhalb von k Standardabweichungen vom Mittelwert liegt, erf(k/√2). Deshalb erscheint erf fortlaufend in der Statistik, bei Hypothesentests und in der Berechnung von Konfidenzintervallen. Die komplementäre Fehlerfunktion erfc(x) = 1 − erf(x) = (2/√π) ∫ₓ^∞ e^(−t²) dt beschreibt die Randwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeitsmasse im Gaußschen Randbereich jenseits von x. Für große x ist erfc(x) deutlich kleiner als 1; die direkte Berechnung als 1 − erf(x) würde durch katastrophale Auslöschung Genauigkeit verlieren. Der Rechner bestimmt erfc(x) mit einem speziellen Algorithmus, der auch bei großen x präzise bleibt, wenn erf(x) in der üblichen Gleitkommaarithmetik nicht mehr von 1 zu unterscheiden ist. Die inverse Fehlerfunktion erf⁻¹(x) löst die Gleichung erf(y) = x nach y auf. Sie ist für x im offenen Intervall (−1, 1) definiert. Für x = 0 gilt erf⁻¹(0) = 0. Nähert sich x dem Wert ±1, divergiert erf⁻¹(x) gegen ±∞. Die Umkehrfunktion wird zur Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen aus gleichverteilten Zahlen und zum Lösen von Gleichungen mit Normalwahrscheinlichkeiten verwendet. Die inverse komplementäre Fehlerfunktion erfc⁻¹(x) löst erfc(y) = x nach y auf und ist im offenen Intervall (0, 2) definiert. In der praktischen Technik tritt die Fehlerfunktion bei Wärmeübertragungsproblemen mit Diffusion auf: Die Temperaturverteilung in einem halbinfiniten Festkörper nach einer plötzlichen Änderung der Oberflächentemperatur folgt einem erf-Profil. In der Halbleiterphysik wird das Dotierungsprofil nach einem Diffusionsprozess durch erfc beschrieben. In der Nachrichtentechnik wird die Bitfehlerrate verschiedener Modulationsverfahren mit erfc ausgedrückt. In der Qualitätskontrolle und Six-Sigma-Methodik wird die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Prozesses mit Mittelwert μ, Standardabweichung σ und Spezifikationsgrenzen mithilfe von erfc berechnet. Die numerische Implementierung dieses Rechners kombiniert eine rationale Polynomapproximation mit der bekannten Reihenentwicklung und erreicht im gesamten Definitionsbereich Ergebnisse mit mindestens 15 signifikanten Stellen. Damit entspricht oder übertrifft sie die Genauigkeit standardmäßiger wissenschaftlicher Rechner und Softwarebibliotheken wie der Python-Funktion math.erf.