Besselfunktionen-Rechner

Besselfunktionen sind spezielle Funktionen, die bei der Zerlegung von Differentialgleichungen mit Zylinder- oder Radialsymmetrie in einfachere Teile auftreten. Sie beschreiben unter anderem schwingende Kreismembranen, Wärmeleitung in Zylindern, elektromagnetische Wellen in runden Wellenleitern, akustische Moden, Beugung und Fluidbewegungen. Die gewöhnliche Besselgleichung besitzt zwei unabhängige Lösungsfamilien. J der Ordnung n heißt Besselfunktion erster Art und bleibt bei nichtnegativen ganzzahligen Ordnungen im Ursprung endlich. Y der Ordnung n ist die Lösung zweiter Art und bei null singulär; deshalb verlangt dieser Rechner für Y ein positives Argument. Die modifizierten Besselfunktionen I und K lösen die verwandte Gleichung, die durch einen Vorzeichenwechsel im Term mit dem quadrierten Argument entsteht. I wächst bei positiven Argumenten im Allgemeinen exponentiell, K fällt dagegen exponentiell ab. Dieser Gegensatz ist bei Randwertproblemen nützlich, bei denen eine radiale Lösung nahe dem Zentrum beschränkt bleiben und eine andere fern von der Quelle abklingen muss. K ist bei null singulär und benötigt hier ebenfalls ein positives Argument. Die passende Familie ergibt sich aus Differentialgleichung und Randbedingungen, nicht allein aus numerischer Bequemlichkeit. Für ganzzahlige Ordnungen von J und I wertet der Rechner konvergente Potenzreihen aus. Neue Terme werden addiert, bis ihr Beitrag bei üblicher Gleitkommagenauigkeit vernachlässigbar ist. Für Y und K liefern stabile Näherungen die Basisordnungen null und eins; höhere ganzzahlige Ordnungen folgen über Standardrekursionen. Diese Verfahren liefern in einem breiten alltäglichen Bereich brauchbare technische Werte. Extrem große Ordnungen oder Argumente können jede browserbasierte Gleitkommaberechnung erschweren, da Oszillation, Auslöschung, Über- oder Unterlauf signifikante Stellen kosten können. Die Ordnung n bestimmt die radiale Mode und muss hier eine nichtnegative ganze Zahl sein. Das Argument x ist in der mathematischen Funktion dimensionslos. In physikalischen Anwendungen steht es häufig für ein Produkt wie Wellenzahl mal Radius, sodass sich die Einheiten vor der Auswertung aufheben. Ergebnisse sind zusammen mit dem Modell und seiner Normierung zu interpretieren. Vergleichen Sie empfindliche Forschungsrechnungen mit einer spezialisierten numerischen Bibliothek und erhöhen Sie bei Bedarf die Genauigkeit. Mehrere Identitäten helfen bei der Ergebniskontrolle. J der Ordnung null und I der Ordnung null sind bei null jeweils eins; alle J und I positiver ganzzahliger Ordnung verschwinden im Ursprung. Benachbarte Ordnungen erfüllen Rekursionsformeln, und die oszillierenden Funktionen J und Y besitzen ineinandergreifende Nullstellen. Die folgenden Beispiele zeigen bekannte Referenzwerte und das unterschiedliche Verhalten gewöhnlicher und modifizierter Familien.