Rechner für die Dreiecksungleichung
Prüfen Sie sofort, ob drei Seiten ein gültiges Dreieck bilden, und bestimmen Sie den Typ.
Geben Sie die drei Seitenlängen ein und klicken Sie auf Prüfen. Der Rechner testet alle drei Bedingungen.
Rechner für die Dreiecksungleichung
Prüfen Sie sofort, ob drei Seiten ein gültiges Dreieck bilden, und bestimmen Sie den Typ.
Über den Rechner für die Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung ist eine grundlegende Regel der euklidischen Geometrie. Drei Längen a, b und c bilden genau dann ein Dreieck, wenn gleichzeitig a + b > c, a + c > b und b + c > a gilt.
Die Idee ist einfach: Die direkte Verbindung zwischen zwei Punkten ist kürzer als jeder Umweg. Daher muss b kürzer als a + c sein; für die beiden anderen Seitenpaare gilt dasselbe.
Bei a + b = c liegen die drei Punkte auf einer Geraden und das Dreieck degeneriert zu einer Strecke mit null Fläche. Ein echtes Dreieck verlangt eine strenge Ungleichung (>).
Nach erfolgreicher Prüfung bedeuten drei gleiche Seiten gleichseitig, genau zwei gleiche Seiten gleichschenklig und drei verschiedene Seiten ungleichseitig.
Die Regel wird auch für GPS, Netzwerk-Routing, Roboterplanung und Bauingenieurwesen verwendet, um kurze Wege zu finden und unmögliche Anordnungen auszuschließen.
Beispiele zur Dreiecksungleichung
Beispiele für gültige und ungültige Seitenkombinationen mit Erklärungen.
| Seiten (a, b, c) | Ergebnis | Erklärung |
|---|---|---|
| a = 5, b = 7, c = 10 | Gültig — Ungleichseitig | 5+7=12>10, 5+10=15>7 und 7+10=17>5. Alle Seiten sind verschieden, also ist es ungleichseitig. |
| a = 10, b = 10, c = 10 | Gültig — Gleichseitig | Für jedes Paar gilt 10+10=20>10. Alle Seiten sind gleich, also ist es gleichseitig. |
| a = 3, b = 4, c = 8 | Ungültig | 3+4=7 ist nicht größer als 8. Die beiden kurzen Seiten erreichen die längste nicht. |
| a = 8, b = 15, c = 17 | Gültig — Ungleichseitig | 8+15=23>17, 8+17=25>15 und 15+17=32>8. Es ist außerdem rechtwinklig (8²+15²=17²). |
So verwenden Sie den Rechner für die Dreiecksungleichung
- Geben Sie in den Feldern positive Zahlen für Seite A, B und C ein.
- Klicken Sie auf „Dreieck prüfen“. Getestet werden a+b > c, a+c > b und b+c > a.
- Lesen Sie das Ergebnis: Ein gültiges Dreieck kann gebildet werden; andernfalls ist mindestens eine Bedingung verletzt.
- Bei einem gültigen Ergebnis wird anhand gleicher Seiten der Dreieckstyp angezeigt.
- Bei einem ungültigen Ergebnis nennt der Grund die verletzte Ungleichung.
FAQ zur Dreiecksungleichung
Was besagt der Satz der Dreiecksungleichung?
Für drei positive Längen a, b und c muss die Summe jedes Seitenpaars strikt größer als die dritte Seite sein. Alle drei Bedingungen müssen erfüllt sein.
Muss ich alle drei Bedingungen prüfen?
Formal ja. Ist die längste Seite bekannt, genügt es, zu prüfen, ob die beiden kürzeren zusammen länger sind, da die anderen Bedingungen dann automatisch gelten. Der Rechner prüft alle drei.
Was passiert, wenn a + b genau c entspricht?
Die drei Punkte liegen auf einer Geraden und die Figur wird zu einer Strecke ohne Fläche. Es ist kein echtes Dreieck; erforderlich ist a + b > c.
Sind Dezimalzahlen oder Brüche erlaubt?
Ja. Die Dreiecksungleichung gilt für alle positiven reellen Zahlen, nicht nur für ganze Zahlen. Werte wie 2.5, 7.8 oder 0.1 werden genau ausgewertet.
Wie wird der Dreieckstyp bestimmt?
Die drei Längen werden verglichen: drei gleiche ergeben ein gleichseitiges, genau zwei gleiche ein gleichschenkliges und drei verschiedene ein ungleichseitiges Dreieck. Ein rechtwinkliges Dreieck kann ungleichseitig oder gleichschenklig sein.
Warum ist die Dreiecksungleichung im Bauwesen wichtig?
Ein Dreiecksfachwerk ist steif und stabil. Der Satz garantiert, dass seine drei Bauteile einen geschlossenen Rahmen bilden können. In Netzwerken und GPS bildet er die Grundlage für kürzeste Wege.