Ellipsen-Rechner

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Abstandssumme zu zwei festen Brennpunkten konstant ist. Sie ähnelt einem gestreckten oder gestauchten Kreis und lässt sich bequem durch zwei senkrechte Halbachsen beschreiben. Die große Halbachse, üblicherweise a genannt, ist der längere Radius vom Mittelpunkt zur Kurve. Die kleine Halbachse b ist der kürzere Radius. Aus diesen beiden Längen lassen sich Fläche, näherungsweiser Umfang, Exzentrizität und der Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Brennpunkt bestimmen. Die Flächenformel ist exakt: Pi wird mit den Längen beider Halbachsen multipliziert. Wird ein Einheitskreis horizontal um a und vertikal um b skaliert, ändert sich seine Fläche um das Produkt beider Faktoren. Der Umfang ist schwieriger, da es für Ellipsen keine elementare geschlossene Umfangsformel gibt. Dieser Rechner verwendet Ramanujans zweite Näherung, die bei üblichen Ellipsenformen äußerst genau ist. Sie ermittelt einen dimensionslosen Formfaktor aus den Quadraten der Differenz und der Summe der Halbachsen und korrigiert damit Pi mal deren Summe. Die Exzentrizität misst, wie stark eine Ellipse von einem Kreis abweicht. Der Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt ist die Quadratwurzel aus der Differenz der quadrierten großen und kleinen Halbachse. Die Exzentrizität ist dieser Abstand geteilt durch die große Halbachse. Ein Kreis hat gleiche Halbachsen; Brennpunktabstand zum Mittelpunkt und Exzentrizität sind null. Je schmaler die Ellipse, desto näher liegt ihre Exzentrizität bei eins, ohne diesen Wert bei einer nicht entarteten Ellipse zu erreichen. Beide Brennpunkte liegen auf der Hauptachse im berechneten Abstand zum Mittelpunkt. Ihr gegenseitiger Abstand ist deshalb doppelt so groß. Ellipsenberechnungen werden in analytischer Geometrie, Astronomie, Architektur, Optik, Akustik, Maschinenbau und Bahnmodellen benötigt. Alle Eingabelängen müssen dieselbe Einheit haben. Die Fläche wird in deren Quadrat angegeben; Umfang und Abstand zum Brennpunkt behalten die ursprüngliche Einheit, die Exzentrizität ist einheitenlos. Dieser Rechner setzt a mindestens gleich b voraus; vertausche umgekehrte Messwerte vor der Berechnung. Die Anzeige wird auf sechs Nachkommastellen gerundet. Bewahre bei weiterführenden technischen Berechnungen zusätzliche Genauigkeit. Zur schnellen Kontrolle: Die Fläche muss positiv sein, die Exzentrizität zwischen null einschließlich und eins ausschließlich liegen, und der Abstand zum Brennpunkt darf die große Halbachse nicht überschreiten.