平方和計算器

平方和是統計學、代數、迴歸與實驗分析中的基礎量。這個名稱可能指兩種相關計算，因此本計算器同時提供兩者。原始平方和是將每個觀測值平方後相加：Σx²。校正平方和又稱離均差平方和，用來衡量平均數周圍的變異，計算式為 Σ(x − x̄)²。同時呈現兩個數值可避免混淆，也能應用於更多類型的問題。 原始平方和描述各數值相對於零的平方大小。對於 1、2、3 與 4，結果是 1² + 2² + 3² + 4² = 30。負觀測值平方後為正數，所以 −2、0 與 2 的原始平方和為 8。這種形式出現在向量長度、最小平方法代數、訊號能量及統計公式的中間步驟。若將整個資料集加上一個常數，結果會改變。 校正平方和有時稱為總平方和，衡量觀測值與算術平均數之間的距離。對於 1、2、3 與 4，平均數為 2.5，離均差平方加總為 5。由於每個數值都與中心比較，所有觀測值加上相同常數並不會改變結果。校正平方和為零表示所有觀測值相同。較大的值表示較大的總離散程度，但數值也通常會隨樣本數增加而增大。 樣本變異數可直接由校正平方和推得：將其除以 n − 1，其中 n 是觀測值數量。分母 n − 1 稱為貝塞爾校正，用於輸入觀測值是較大母體之樣本的情況。若輸入值已構成整個母體，則應將校正平方和除以 n。至少有兩個觀測值時，本計算器才會顯示樣本變異數，因為單一數值沒有可供估計樣本變異的自由度。 在變異數分析與迴歸中，平方和可分為可解釋與不可解釋的部分。總變異可拆成模型所解釋的變異及殘差。這些計算都運用相同概念：先將離差平方，避免正負差異互相抵銷，再加總。平方也會讓較大偏差具有更高權重，因此解讀離群值時必須留意。 請盡可能輸入未經四捨五入的原始觀測值。過早將平均數或個別離差取位，可能明顯改變最終平方和，尤其是大型資料集。本計算器在運算時保留完整數值精度，只對顯示值取位，因此可快速核對作業、描述統計、變異數計算，以及迴歸或變異數分析的基礎步驟。