質數計算器

質數是大於一，且恰有兩個正因數的整數：一與它本身。大於一且還有其他因數的數稱為合數。七是質數，因為只有一與七能整除它；九是合數，因為三也是它的因數。零與一既不是質數也不是合數，這項約定維持了重要的數論結果，並讓質因數分解具有唯一性。 本計算器藉由尋找因數來檢驗質數。大於二的偶數可立即排除。對奇數候選值，只須檢查不超過其平方根的奇數因數。若合數等於a乘以b，至少一個因數必定不大於平方根；否則兩者都更大，乘積便會超過原數。檢查到此界限仍找不到因數，就證明該數為質數。 結果也會顯示最接近的較小與較大質數。尋找時會向兩側逐一檢驗整數，直到遇到質數。二是第一個質數，因此沒有更小的質數。質數間距不固定：有些質數僅相差二，形成孿生質數對；其他相鄰質數的差距則大得多。任何整數之上都還有另一個質數，歐幾里得的經典證明顯示質數序列永無止境。 質數是算術的核心，因為每個大於一的整數都能唯一分解成質數的乘積。它們支援分數約分、最大公因數方法、模運算及許多整除性論證。現代公開金鑰密碼學使用以大質數與計算困難的逆問題為基礎的運算。雜湊表、隨機化技術、錯誤更正碼與循環模式也會利用質數性質。 手動檢查時，先排除可被二、三與五整除的情況，再繼續檢查不大於平方根的可能質因數。整除規則能加快檢查，但對適中大小的輸入而言，試除法仍是基本證明方式。本計算器採用精確的整數餘數檢驗，而非統計估計，因此允許範圍內的每個答案都是確定的。 JavaScript的一般數值只能在安全整數上限內精確表示整數，因此輸入受到該範圍限制。密碼學中極大的候選數需要專門的大整數演算法，例如先採用Miller-Rabin，再使用更強的證明方法。對課業、因數檢查、數列探索與日常數論而言，本工具使用的精確平方根方法直接且可靠。輸入非負整數，即可查看分類及最接近的相鄰質數。