伽利略無窮悖論計算器

伽利略悖論始於兩個看似不相容的觀察。完全平方數只是正整數的一部分：1、4、9、16，依此類推。多數自然數不是平方數，在有限樣本中，平方數看起來越來越稀疏。然而，每個正自然數 n 都恰好對應一個平方數 n 的平方，每個正平方數也恰好有一個正平方根。這種一一對應表示，平方數集合與所有自然數的集合具有相同的無限大小。 本計算器將有限情況呈現出來。從 1 到上限 N 的自然數中，完全平方數有 floor(sqrt(N)) 個。到 100 為止有 10 個平方數，占樣本的 10%；到 10,000 為止有 100 個，只占 1%。隨著 N 增大，比值 floor(sqrt(N))/N 趨近於零。以自然密度的術語來說，完全平方數在自然數中的密度為零。 無限情況使用配對，而非比例。讓 1 對應 1、2 對應 4、3 對應 9，一般而言讓 n 對應 n 的平方。輸入端沒有遺漏任何自然數，輸出端也沒有重複或遺漏任何完全平方數。現代集合論稱這種規則為雙射。只要兩個集合之間存在雙射，就具有相同基數，即使其中一個是另一個的真子集。兩者都是可數無窮集。 當我們辨認出有限比例與無限基數是不同的度量，就不再有矛盾。比例關心的是隨著上限擴大，一個集合在另一個集合中出現得多密；基數關心的則是元素能否逐一配對。對有限集而言，這些概念符合日常直覺：真子集的元素一定比較少。無限集則不同，因為它們可以與自身的真子集完整配對。 伽利略討論這個問題時，嚴謹的無限基數理論尚未建立。後來，格奧爾格·康托爾將一一對應形式化，作為比較無限集的方法。這個悖論仍是認識可數無窮、極限、密度與雙射的實用入門。逐步提高上限，觀察有限百分比下降，同時記住 n 到 n 的平方的映射兩端都不會用盡。本工具並非計算無窮，而是說明有限趨勢與無限配對如何回答兩個不同的數學問題。