費波那契計算機

費波那契數列是一組依序排列的整數，從第三項起，每一項都等於前兩項的和。依照現代常用慣例，數列從 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 開始，並無限延伸。位置 n 的值記為 F(n)，其中 F(0) 等於 0，F(1) 等於 1。本計算機遵循從零開始的慣例，因此位置 10 的結果是 55。 只需要一個精確的項時，請選擇「第 N 個費波那契數」。計算機使用反覆迭代的遞迴關係，而非經過四捨五入的小數近似值，並透過 JavaScript 大整數保留每一位數字，即使位置遠超一般浮點數的表示範圍也不例外。若想觀察從 F(0) 開始的變化，請選擇「前 N 個數」。為方便閱讀，數列最多顯示 100 項，而單一位置模式可支援大得多的位置。 費波那契數廣泛出現在數學與電腦科學中，是遞迴關係、數學歸納法、動態規劃、演算法分析與生成函數的經典範例。相鄰正數項的比值也會趨近黃金比例，約為 1.6180339887。在任何有限位置，兩者都不會精確相等，但隨著項數增加，近似程度會快速提高。此數列也與帕斯卡三角形、鋪磚問題、分支型態及許多計數論證有關。 本計算機刻意從零開始，因為這種索引方式自然符合遞迴關係，且廣泛用於程式設計。有些學校教材則把第一項與第二項都標為 1。這些教材描述的是相同的數值規律，只是位置標記有所位移，因此比較答案前務必確認慣例。例如，本工具顯示 F(6) 為 8，而從一開始編號的清單可能將 8 稱為第六個顯示的正數項。 手動驗算時，從 0 和 1 開始，反覆將最新的兩個值相加。求 F(7) 時，依序相加得到 1, 2, 3, 5, 8，最後是 13。這個簡單規則讓學生容易理解數列，而其深層性質仍可應用於數論、組合數學、金融模型與演算法設計。