乘法反元素計算機

乘法反元素是能抵銷乘法作用的值。在一般算術中，非零數 a 的反元素就是它的倒數，即 1 除以 a，因為 a 乘以 1 除以 a 等於 1。8 的倒數是 0.125，二分之一的倒數是 2，負數的倒數也是負數。零沒有乘法反元素，因為任何有限值乘以零都不可能得到 1。 模運算的定義相關但不同。整數 a 在模 m 下的反元素是整數 x，滿足 a 乘以 x 後除以 m 的餘數為 1。例如，7 在模 26 下的反元素是 15，因為 7 乘以 15 等於 105，而 105 mod 26 等於 1。模反元素通常不等同於小數形式的倒數。它們屬於有限的剩餘類系統，加上或減去模數的任意整數倍，仍是同一模運算答案的另一代表元。 當且僅當此數與模數互質，也就是最大公因數為 1 時，模反元素才存在。計算機以擴展歐幾里得演算法檢查這個條件。此演算法求出將輸入值與其最大公因數連結的係數。當最大公因數為 1 時，將此數對應的係數對 m 取模，即可得到最小非負反元素。若輸入值有大於 1 的公因數，任何乘積都無法得到餘數 1，因此計算機會提示所求反元素不存在。 處理分數、縮放、代數除法、比率及實數運算時，請選擇倒數模式。處理同餘式、數論、密碼學、檢查碼及整數演算法時，請選擇模反元素模式。模運算的輸入必須是安全整數，模數必須大於 1。被求反元素的數可以是負整數，因為解讀反元素前可先將它化為等價的剩餘類代表元。 乘法反元素是解方程式的重要工具。一般方程式兩邊乘以倒數，可消去非零係數；模方程式兩邊乘以模反元素，則只有在該反元素存在時才能解出變數。公開金鑰密碼學將此概念用於更大的整數，但正式密碼運算需要專門的任意精度與固定時間軟體。本計算機適合學習、核對作業及求解中等規模的算術範例，並清楚區分這兩種反元素概念。