三項式因式分解計算機
將二次三項式 ax² + bx + c 分解為整數係數二項式的乘積。
分解二次三項式
輸入 ax² + bx + c 的整數係數。最高次項係數不能為零。
關於三項式因式分解
二次三項式因式分解是多項式乘法的逆運算。存在整數因式時，可將 ax² + bx + c 改寫成兩個一次二項式的乘積。例如 x² + 5x + 6 可寫成 (x + 2)(x + 3)。展開得到 x² + 3x + 2x + 6，合併同類項後即回到原式。
對於首一三項式，也就是 a 等於 1，尋找乘積為 c、和為 b 的兩個整數。這兩個整數就是兩因式中的常數。正負號很重要：x² - 5x + 6 需要兩個負常數，得到 (x - 2)(x - 3)，因為乘積為正 6，和為負 5。
最高次項係數不是 1 時，可使用 AC 法循序處理。先將 a 乘以 c，找出乘積為 ac、和為 b 的兩個整數，用它們拆開中間項，再分組分解。以 2x² + 7x + 3 為例，ac 為 6，可用的數為 6 和 1。將 2x² + 6x + x + 3 分組可得 (x + 3)(2x + 1)。
判別式 b² - 4ac 能快速判斷是否可能有有理係數的一次因式。若為負數，二次式沒有實根，不能分解成實係數一次因式。對整數係數而言，若判別式非負但不是完全平方數，根便是無理數，不存在整數係數二項式分解。計算機會顯示無法在整數範圍內分解，而不會強行給出錯誤乘積。
特殊形式可加速分解。例如平方差 x² - 9 分解為 (x - 3)(x + 3)，完全平方三項式 x² + 6x + 9 分解為 (x + 3)(x + 3)。若所有係數有最大公因數，先提出該公因數，放在二項式乘積前方。
因式分解形式能呈現二次方程式的零點。若兩個因式的乘積為零，可分別令每個因式為零求根。這有助於求圖形與橫軸的交點、處理拋體運動時間方程式、面積模型及代數化簡。請務必把二項式相乘，確認 x²、x 與常數項係數和原三項式完全相同。
三項式因式分解範例
以下涵蓋首一、非首一、特殊形式及無法分解的情況。
| 三項式 | 因式分解形式 | 方法 |
|---|---|---|
| x² + 5x + 6 | (x + 2)(x + 3) | 兩數乘積為 6，和為 5。 |
| 2x² + 7x + 3 | (x + 3)(2x + 1) | 使用 AC 法與分組分解。 |
| x² - 9 | (x - 3)(x + 3) | 平方差。 |
| x² + x + 1 | 無法在整數範圍內分解 | 判別式為負數。 |
如何分解三項式
- 在 a 欄位輸入 x² 的整數係數，未寫係數時輸入 1。
- 在 b 欄位輸入含正負號的 x 係數，缺少此項時輸入 0。
- 在 c 欄位輸入含正負號的常數。
- 選取「分解三項式」，尋找整數係數二項式因式。
- 以心算或紙筆展開顯示的乘積，核對結果。
三項式因式分解常見問題
可在整數範圍內分解是什麼意思？
表示多項式可寫成係數為整數的因式乘積。有些二次式有無理根或非實複數根，因此沒有整數係數二項式因式。
判別式如何協助因式分解？
對整數係數而言，非負的完全平方數判別式表示有有理根，提出係數公因數後可進行整數因式分解。負數或非完全平方數判別式則排除此形式。
係數 a 為零會怎樣？
此時不再是二次式，而是一次式，因此不符合所需的三項式形式。此計算機要求最高次項係數不為零。
計算機能分解平方差嗎？
可以，將中間項係數設為零。例如輸入係數 1、0、-9，會得到 (x - 3)(x + 3)。
如何檢查答案？
用分配律或 FOIL 法相乘兩個二項式，並合併同類項。所得三個係數應與 a、b、c 完全相符。