級數總和計算器：等差、等比與更多
以逐步公式立即計算等差數列、等比級數、調和級數及平方和。
選擇級數類型並輸入必要參數，即可取得套用公式後的精確總和。
級數總和計算器：等差、等比與更多
以逐步公式立即計算等差數列、等比級數、調和級數及平方和。
關於級數總和計算器
級數是數列各項相加的總和，數列則是有序的數字清單。本計算器處理等差數列、等比級數、調和級數及前 n 個自然數的平方和。
等差數列的相鄰項相差固定公差；其前 n 項和為 S = (n/2)(2a + (n−1)d)。等比級數的每項由前項乘固定公比 r 得到；r ≠ 1 時，和為 S = a(1 − rⁿ)/(1 − r)，r = 1 時為 n × a。複利、年金和貸款常用等比級數。
調和級數 H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n 沒有簡單閉式，會直接累加倒數，且雖然緩慢仍會發散。平方和 1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6，常見於統計、數值方法和組合學。依固定差、固定倍數、整數倒數或整數平方選擇適當類型。
級數總和範例
四個範例說明各級數類型的實際輸入與驗證結果。
| 級數 | 總和 | 套用公式 |
|---|---|---|
| 1 + 3 + 5 + …（前 10 個奇數，a=1，d=2，n=10） | 100 | 等差數列。S = (10/2)(2×1 + 9×2) = 5 × 20 = 100。 |
| 2 + 4 + 8 + …（2 的冪，a=2，r=2，n=8） | 510 | 等比級數。S = 2(1 − 2⁸)/(1 − 2) = 2 × 255 = 510。 |
| 1 + 1/2 + 1/3 + …（調和級數，n=20） | ≈ 3.5977 | 調和部分和。直接加總 1 至 20 的倒數。 |
| 1² + 2² + 3² + … + 15²（平方和，n=15） | 1240 | 平方和公式。S = 15 × 16 × 31 / 6 = 1240。 |
如何使用級數總和計算器
- 選擇符合問題的類型：等差數列、等比級數、調和級數或平方和。
- 輸入必要參數。等差需要 a、d、n；等比需要 a、r、n；調和與平方和只需 n。
- 點選「計算總和」立即查看結果和公式。
- 使用表格下方按鈕可載入各類型的完整範例。
- 點選「重設」清除所有欄位。
級數總和常見問題
數列與級數有何不同？
數列是有序數字清單，如 1、3、5、7；級數是其總和：1 + 3 + 5 + 7 = 16。計算器計算總和而不是個別項。
如何求等差數列總和？
使用 S = (n/2)(2a + (n−1)d)，其中 a 為首項、d 為公差、n 為項數。也可用 S = n ×（首項 + 末項）/ 2。
等比級數公式何時不適用？
r = 1 時標準公式會除以零。此時每項均為 a，因此總和是 n × a；計算器會自動處理。
調和級數收斂嗎？
不收斂；它會非常緩慢地無限增加。計算器計算有限項的部分和，結果永遠有限。
平方和公式有何用途？
n(n+1)(2n+1)/6 用於變異數、數值積分和組合問題，可直接求出 1² 至 n² 的總和。
能使用很大的 n 嗎？
可以。等差、等比和平方和採閉式公式；調和級數直接加總，n = 100,000 等很大數值可能稍候。結果使用約 15 位有效數字的雙精度運算。