Калькулятор эпидемии по модели SIR

Моделируйте численность восприимчивых, инфицированных и выздоровевших с помощью детерминированной модели инфекции.

Моделирование эпидемии SIR
Введите начальную численность групп, суточные коэффициенты передачи и выздоровления, а также длительность моделирования.

Как устроена эпидемическая модель SIR

Модель SIR — базовый математический подход к изучению распространения инфекционных заболеваний. Она делит замкнутую популяцию на три группы: восприимчивые, которые могут заразиться, инфицированные, которые могут передавать инфекцию, и выздоровевшие, которые считаются иммунными и больше не заразными. Название образовано английскими инициалами S, I и R. На каждом шаге люди переходят из восприимчивых в инфицированные, а затем из инфицированных в выздоровевшие; общая численность остается постоянной. Передача описывается коэффициентом beta. За каждый моделируемый день число новых заражений равно beta, умноженному на численность восприимчивых и инфицированных и деленному на общую численность. Выздоровление описывается gamma, а число новых выздоровевших равно gamma, умноженному на численность инфицированных. Соответствующие дифференциальные уравнения: dS/dt = -beta SI/N, dI/dt = beta SI/N - gamma I и dR/dt = gamma I. Калькулятор приближенно решает эти непрерывные уравнения методом Эйлера с шагом в один день и не допускает, чтобы суточный переход превышал численность исходной группы. В простейших предположениях SIR отношение beta к gamma является базовым репродуктивным числом. Значение больше единицы означает, что в начале инфекция может распространяться быстрее, если почти все восприимчивы; значение меньше единицы указывает на спад. По мере сокращения числа восприимчивых эффективное репродуктивное число падает, и эпидемия может достичь пика, даже если базовое значение больше единицы. Указанный пик — это наибольшая смоделированная численность инфицированных и день ее достижения. Конечные размеры групп описывают состояние на выбранном временном горизонте, а не обязательно окончательное завершение вспышки. Реальные эпидемии редко соответствуют всем предположениям SIR. В популяциях есть возрастные группы, сети контактов, рождения, смерти, миграция, вакцинация, изменения поведения, разная длительность заразности, недоучет и повторные заражения. Beta и gamma также могут меняться со временем. Численный шаг в один день удобен для обучения и быстрой оценки сценариев, но менее точен, чем решатель с меньшим шагом или статистическая модель, подогнанная по данным. Не используйте результат как прогноз или основание для решений в области общественного здоровья. Надежное прогнозирование требует откалиброванных данных, интервалов неопределенности, анализа чувствительности и проверки эпидемиологами, знакомыми с возбудителем и системой надзора.

Примеры модели SIR

Примеры показывают, как предположения о передаче и выздоровлении меняют эпидемическую кривую.

Начальный сценарийОжидаемая динамикаИнтерпретация
N 10,000; S 9,990; I 10; beta 0.3; gamma 0.1; 100 днейНачальный рост при R0, равном 3Условный пример вспышки в сообществе
N 1,000; S 990; I 10; beta 0.08; gamma 0.1; 60 днейЧисло инфекций обычно снижаетсяR0 ниже 1
N 50,000; S 39,990; I 10; R 10,000; beta 0.2; gamma 0.1Рост медленнее, чем в полностью восприимчивой популяцииИмеющийся иммунитет снижает эффективное распространение

Как запустить моделирование SIR

  1. Введите общую численность и начальные количества восприимчивых, инфицированных и выздоровевших, сумма которых равна общей численности.
  2. Введите предполагаемые суточные коэффициенты передачи и выздоровления десятичными числами.
  3. Выберите целое число дней для моделирования.
  4. Запустите модель и сравните конечные размеры групп, пик инфекций и репродуктивное число.

Вопросы о модели SIR

Что означают beta и gamma?

В этой простой модели beta задает частоту потенциально заразных контактов. Gamma — суточный коэффициент выздоровления, поэтому обратная ему величина приближенно равна средней длительности заразного периода.

Что означает R0 больше единицы?

При предположениях модели каждый инфицированный в начале вызывает в среднем более одного нового заражения. Это указывает на возможность роста, а не гарантирует прогноз.

Почему сумма трех групп должна равняться общей численности?

Каждый человек в замкнутой популяции SIR должен принадлежать ровно одной группе. Несоответствие добавило бы или исключило людей и нарушило бы закон сохранения в уравнениях.

Учитывает ли модель вакцинацию или повторное заражение?

В этой базовой версии нет ни переходов за счет вакцинации, ни утраты иммунитета. Более сложные компартментные модели могут включать такие механизмы.

Насколько точно моделирование с суточным шагом?

Суточные шаги Эйлера дают наглядное приближение для обучения и сравнения сценариев. Для исследований и политики нужны откалиброванные модели, более точные численные методы и анализ неопределенности.