Калькулятор комплексно-сопряжённого числа

Комплексно-сопряжённое число меняет знак мнимой части, оставляя действительную часть неизменной. Если z = a + bi, его сопряжённое равно a - bi. Например, для 3 + 4i сопряжённым будет 3 - 4i, а для -2 - 2i — -2 + 2i. Это отражение относительно действительной оси сохраняет расстояние до начала координат и меняет знак угла. Сопряжённые числа полезны тем, что умножение комплексного числа на сопряжённое устраняет мнимую составляющую. Произведение (a + bi)(a - bi) равно a² + b² — неотрицательному действительному числу. Это тождество используют при делении комплексных чисел: числитель и знаменатель умножают на сопряжённое знаменателя, после чего знаменатель становится действительным. Оно также напрямую связано с модулем, поскольку квадрат модуля равен a² + b². Модуль, записываемый как абсолютная величина z, — евклидово расстояние от начала координат до точки (a, b) на комплексной плоскости. По теореме Пифагора он равен квадратному корню из a² + b². Сопряжённые числа всегда имеют одинаковый модуль. Калькулятор использует функцию hypot для устойчивого вычисления и показывает округлённую десятичную дробь, если результат не является целым. Аргумент — направленный угол от положительной действительной полуоси к комплексному числу. Обычный арктангенс не различает все квадранты, поэтому калькулятор использует atan2(b, a). Эта функция возвращает главное значение аргумента от минус пи до плюс пи радиан и корректно обрабатывает точки на осях. Результат показан в радианах и градусах. Для комплексного нуля atan2 по соглашению возвращает ноль, хотя математически аргумент нуля не определён. Комплексное сопряжение распределяется по сложению и умножению: сопряжённое суммы равно сумме сопряжённых, а сопряжённое произведения — произведению сопряжённых. Двойное сопряжение возвращает исходное число. Комплексное число равно своему сопряжённому тогда и только тогда, когда его мнимая часть равна нулю; это характеризует действительные числа внутри комплексной системы. Сопряжение встречается в алгебре, электротехнике, обработке сигналов, квантовой механике, анализе Фурье и теории многочленов. Невещественные корни многочленов с действительными коэффициентами образуют сопряжённые пары, а инженеры применяют сопряжение при расчётах мощности и импеданса. Вводите коэффициенты отдельно, чтобы избежать неоднозначности знаков, затем проверяйте результат по модулю, главному аргументу и действительному произведению.