Калькулятор комплексных чисел

Комплексное число объединяет действительную и мнимую части в форме a + bi, где i² = -1. Действительный коэффициент a задаёт горизонтальную координату на комплексной плоскости, а мнимый коэффициент b — вертикальную. Комплексные числа расширяют систему действительных чисел так, что уравнения вида x² + 1 = 0 получают решения. Они также дают компактный язык для описания колебаний, вращений, электрического импеданса, волн и многих других математических моделей. Сложение и вычитание выполняются по компонентам. Чтобы сложить a + bi и c + di, сложите a с c и b с d. При вычитании используется та же структура, но вычисляются разности. Это похоже на сложение и вычитание двумерных векторов. Раздельная запись действительных и мнимых слагаемых в столбцах помогает избегать ошибок в знаках, особенно если один или несколько коэффициентов отрицательны. Умножение использует обычное распределительное свойство вместе с i² = -1. Раскрытие (a + bi)(c + di) даёт ac + adi + bci + bdi². После замены i² на -1 и приведения подобных слагаемых действительная часть равна ac - bd, а мнимая — ad + bc. Умножение имеет и геометрический смысл: модули перемножаются, аргументы складываются, поэтому операция сочетает масштабирование и поворот на комплексной плоскости. При делении знаменатель делают действительным с помощью сопряжённого числа. Если умножить числитель и знаменатель (a + bi)/(c + di) на c - di, знаменатель станет c² + d². Действительная часть результата равна (ac + bd)/(c² + d²), а мнимая — (bc - ad)/(c² + d²). Деление не определено только тогда, когда c и d одновременно равны нулю: квадрат модуля знаменателя в этом случае равен нулю. Калькулятор принимает целые, отрицательные и дробные значения для всех четырёх коэффициентов. Результаты вычисляются с двойной точностью и округляются до восьми десятичных знаков при отображении. Очень малые погрешности арифметики с плавающей точкой показываются как ноль. Ответ остаётся в алгебраической форме, чтобы действительная и мнимая части были сразу видны. Знаки форматируются автоматически, включая минус при отрицательной мнимой части. Комплексная арифметика применяется в алгебре, системах управления, связи, квантовой механике, гидродинамике и обработке сигналов. Даже когда расчёт выполняет программа, понимание формул для компонентов помогает интерпретировать результат и обнаруживать ошибки. Используйте пояснение под каждым ответом как краткое напоминание правила, а важные результаты деления проверяйте умножением частного на исходный делитель.