Калькулятор SVD

Сингулярное разложение, обычно сокращаемое до SVD, представляет вещественную матрицу в виде произведения трёх матриц определённой структуры. Стандартное равенство утверждает, что исходная матрица равна произведению U, Sigma и транспонированной V. U и V — ортогональные матрицы, поэтому их столбцы задают взаимно перпендикулярные единичные направления. Sigma — диагональная матрица с неотрицательными сингулярными числами, расположенными по убыванию. Калькулятор выполняет такое разложение для любой вещественной матрицы два на два. Сначала строится симметричная матрица умножением транспонированной исходной матрицы на саму исходную матрицу. Её собственные значения всегда неотрицательны, если не учитывать малые погрешности вычислений с плавающей точкой. Их квадратные корни дают сингулярные числа, а нормированные собственные векторы становятся столбцами V. Умножение исходной матрицы на каждый правый сингулярный вектор с последующим делением на соответствующее ненулевое сингулярное число даёт столбец U. Если сингулярное число равно нулю, калькулятор детерминированно дополняет ортонормированный базис, сохраняя корректность отображаемых множителей. Сингулярные числа описывают, насколько сильно матрица растягивает пространство вдоль особых направлений. Большое первое число и значительно меньшее второе означают, что основная часть преобразования сосредоточена в одном направлении. Нулевое второе число означает ранг один или ноль: матрица сжимает плоскость до прямой или точки. Отношение наибольшего сингулярного числа к наименьшему ненулевому связано с численной обусловленностью, но эта страница показывает само разложение, а не число обусловленности. SVD применяется в методе наименьших квадратов, псевдообратных матрицах, снижении размерности, сжатии изображений, рекомендательных системах, обработке сигналов и фильтрации шума. В отличие от разложения по собственным значениям, оно существует для любой вещественной матрицы и не ограничено симметричными или квадратными входными данными. В этой реализации этапа 1 ввод намеренно ограничен матрицами два на два, чтобы обеспечить компактный, понятный алгоритм без зависимостей и с предсказуемым форматированием. Однако основные идеи напрямую распространяются на прямоугольные матрицы любого размера. Результаты округляются до шести знаков после запятой, а незначащие нули удаляются. Ортогональные множители математически не единственны: знаки соответствующих столбцов U и V можно одновременно изменить, не меняя произведение, а повторяющиеся сингулярные числа допускают дополнительные повороты внутри подпространства. Поэтому другой надёжный пакет SVD может показать иные знаки или базисные векторы, но восстановить в точности ту же исходную матрицу. Калькулятор выбирает согласованную ориентацию, обеспечивая стабильные результаты для повторного ввода и фиксированных примеров.