Калькулятор приведённой ступенчатой формы

Преобразуйте матрицу 2 на 3 в RREF методом Гаусса — Жордана и сразу считайте решение линейной системы с двумя неизвестными.

Калькулятор матриц RREF
Введите шесть значений матрицы 2 на 3 слева направо.

О приведённой ступенчатой форме

Приведённая ступенчатая форма, обычно сокращаемая до RREF, — это стандартный вид матрицы, позволяющий легко прочитать её основные свойства. Матрица находится в RREF, если первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки равен 1, каждая ведущая 1 — единственный ненулевой элемент своего столбца, ведущие элементы смещаются вправо при движении вниз по строкам, а все нулевые строки расположены внизу. Эти условия обеспечивают каждой матрице единственную приведённую ступенчатую форму, хотя получить её можно разными последовательностями преобразований строк. Калькулятор применяет метод Гаусса — Жордана к матрице из двух строк и трёх столбцов. Такой размер особенно удобен для расширенной матрицы двух линейных уравнений с двумя неизвестными: первые два столбца содержат коэффициенты, последний — константы. Алгоритм ищет ненулевой ведущий элемент, при необходимости меняет строки местами, делит ведущую строку так, чтобы этот элемент стал единицей, затем обнуляет остальные элементы его столбца. Процесс повторяется слева направо, пока новые ведущие элементы найти невозможно. Элементарные преобразования строк не меняют множество решений расширенной матрицы. Можно переставить две строки, умножить строку на ненулевую константу или прибавить к строке кратное другой строки. Например, матрица со строками [1, 2, 5] и [3, 4, 11] приводится к строкам [1, 0, 1] и [0, 1, 2]. Если прочитать их как уравнения, сразу получим x равен 1, y равен 2. RREF также выявляет системы без единственного решения. Нулевая строка может указывать на зависимость уравнений и бесконечное множество решений, если система совместна и есть хотя бы одна свободная переменная. Строка с нулевыми коэффициентами и ненулевым свободным членом означает противоречие, то есть решений нет. Помимо решения уравнений, RREF помогает определить ранг, найти ведущие и свободные столбцы, проверить линейную независимость и найти базисы векторных пространств. Отображаемые значения округляются лишь для удобства чтения; исключение выполняется с полной точностью чисел JavaScript с плавающей точкой.

Примеры RREF

Матрицы показывают системы с единственным решением, зависимыми уравнениями и уже приведённой формой.

Исходная матрицаRREFСмысл
[1, 2, 5]; [3, 4, 11][1, 0, 1]; [0, 1, 2]Единственное решение: x = 1 и y = 2.
[1, 2, 3]; [2, 4, 6][1, 2, 3]; [0, 0, 0]Второе уравнение зависимо, поэтому остаётся одна свободная переменная.
[1, 0, 4]; [0, 1, -2][1, 0, 4]; [0, 1, -2]Матрица уже приведена и даёт x = 4 и y = -2.

Как рассчитать RREF

  1. Введите каждый элемент в указанную строку и столбец.
  2. Для представления двух линейных уравнений используйте третий столбец для констант.
  3. Нажмите «Рассчитать RREF», чтобы выполнить исключение методом Гаусса — Жордана.
  4. Прочитайте ведущие элементы, нулевые строки и значения решений в приведённой матрице.

Вопросы о калькуляторе RREF

Чем отличаются REF и RREF?

Ступенчатая форма требует нулей под каждым ведущим элементом, а приведённая — также над ним. Поэтому RREF позволяет непосредственно читать решения и единственна для заданной матрицы.

Можно ли решить систему уравнений с помощью RREF?

Да. Введите коэффициенты и константы как расширенную матрицу. Ведущий элемент в каждом столбце переменной означает единственное решение, которое читается из последнего столбца.

Что означает строка из нулей?

Одно исходное уравнение не добавляло независимой информации. Если в столбце переменной нет ведущего элемента, у совместной системы есть хотя бы одна свободная переменная и бесконечно много решений.

Как обрабатываются десятичные значения?

Исключение выполняется с числами двойной точности с плавающей точкой. Значения вблизи нуля обнуляются, а для удобства чтения показывается до восьми знаков после запятой.

Какие преобразования строк допустимы?

Можно менять строки местами, умножать строку на ненулевое число или прибавлять к ней кратное другой строки. Каждая операция сохраняет множество решений представленной линейной системы.