Calculadora do paradoxo do infinito de Galileu

O paradoxo de Galileu começa com duas observações aparentemente incompatíveis. Os quadrados perfeitos são apenas parte dos inteiros positivos: 1, 4, 9, 16 e assim por diante. A maioria dos naturais não é quadrado, e amostras finitas fazem os quadrados parecerem cada vez mais raros. Ainda assim, cada natural positivo n forma um par com exatamente um quadrado n ao quadrado, e cada quadrado positivo tem uma única raiz quadrada positiva. Essa correspondência um a um sugere que o conjunto dos quadrados e o de todos os naturais têm o mesmo tamanho infinito. A calculadora torna visível o aspecto finito. Entre os naturais de 1 até um limite N, há floor(sqrt(N)) quadrados perfeitos. Até 100, são 10 quadrados, ou 10% da amostra. Até 10,000, são 100, apenas 1%. Conforme N cresce, a proporção floor(sqrt(N))/N se aproxima de zero. Na linguagem da densidade natural, os quadrados perfeitos têm densidade zero entre os naturais. O aspecto infinito usa pares em vez de proporções. Associe 1 a 1, 2 a 4, 3 a 9 e, em geral, n a n ao quadrado. Nenhum natural na entrada é omitido, e nenhum quadrado perfeito na saída é repetido ou omitido. A teoria moderna dos conjuntos chama essa regra de bijeção. Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade quando existe uma bijeção entre eles, mesmo que um seja subconjunto próprio do outro. Ambos são infinitos enumeráveis. Não há contradição quando se reconhece que proporção finita e cardinalidade infinita são medidas diferentes. A proporção pergunta com que densidade uma coleção aparece dentro de outra à medida que os limites crescem. A cardinalidade pergunta se os elementos podem formar pares um a um. Em conjuntos finitos, essas ideias correspondem à expectativa familiar: um subconjunto próprio sempre tem menos elementos. Conjuntos infinitos se comportam de modo diferente porque podem formar pares completos com subconjuntos próprios de si mesmos. Galileu discutiu esse problema antes de existir uma teoria rigorosa dos cardinais infinitos. Mais tarde, Georg Cantor formalizou a correspondência um a um como forma de comparar conjuntos infinitos. O paradoxo continua sendo uma introdução útil ao infinito enumerável, aos limites, à densidade e às bijeções. Experimente limites cada vez maiores para observar a queda da porcentagem finita, lembrando que a aplicação de n em n ao quadrado nunca se esgota em nenhum dos lados. A ferramenta não calcula o infinito: ilustra como tendências finitas e pareamentos infinitos respondem a duas perguntas matemáticas distintas.