Calculadora do paradoxo do hotel de Hilbert

O hotel de Hilbert é um experimento mental apresentado pelo matemático David Hilbert para ilustrar o comportamento incomum de conjuntos infinitos enumeráveis. Imagine um hotel com quartos numerados 1, 2, 3 e assim por diante, sem fim. Todos estão ocupados, então o gerente de um hotel finito colocaria uma placa de lotado. No hotel infinito, porém, ainda é possível criar espaço ao mover os hóspedes por uma regra que associe cada hóspede atual a um quarto diferente. Quando chega um novo hóspede, o hóspede 1 vai para o quarto 2, o hóspede 2 para o quarto 3 e, em geral, o hóspede n para o quarto n mais 1. Todos continuam com um quarto e o quarto 1 fica livre. Para um grupo finito de k novos hóspedes, o hóspede atual n pode ir para o quarto n mais k, liberando os primeiros k quartos. Esta calculadora usa o número informado tanto como tamanho do grupo finito quanto como número do hóspede acompanhado; por isso, o destino exibido é o dobro desse número. O cenário do ônibus infinito é ainda mais surpreendente. Ao mover cada hóspede do quarto n para o quarto 2n, todos os hóspedes atuais ficam nos quartos pares. Os infinitos quartos ímpares continuam disponíveis. O passageiro n do ônibus pode então ocupar o quarto 2n menos 1. Isso cria uma correspondência um a um para cada hóspede antigo e cada novo passageiro, embora os dois grupos sejam infinitos e o hotel já estivesse lotado. O paradoxo não afirma que hotéis reais possam conter infinitas pessoas. Ele mostra que a cardinalidade infinita não segue todas as intuições aprendidas com contagens finitas. Os naturais podem ser colocados em correspondência um a um com um subconjunto próprio, como os pares, de modo que ambos tenham o mesmo tamanho infinito enumerável. Não é necessário um último hóspede nem um maior quarto, pois a redistribuição é uma função matemática, não uma sequência de mudanças que precisa terminar uma por vez. Use o simulador para examinar distribuições específicas em vez de tentar listar todo o processo infinito. Qualquer índice inteiro positivo segue a mesma regra. Os exemplos ligam as fórmulas a hóspedes concretos, enquanto a explicação mostra por que duas pessoas nunca recebem o mesmo quarto e por que cada quarto designado tem exatamente um ocupante.