Calculadora de potência de matriz

Uma potência de matriz repete a multiplicação de matrizes, assim como uma potência comum repete a multiplicação de escalares. Se A é quadrada, A ao quadrado significa A multiplicada por A, enquanto A ao cubo significa A multiplicada por A e novamente por A. A multiplicação de matrizes não é feita elemento a elemento: cada entrada do resultado é o produto escalar de uma linha por uma coluna. Essa diferença torna as potências de matrizes úteis para descrever transformações lineares repetidas. Somente matrizes quadradas admitem potências inteiras usuais, pois as dimensões precisam permanecer compatíveis em cada multiplicação pela mesma matriz. Um expoente positivo n repete a transformação n vezes. Isso aparece em sistemas dinâmicos discretos, cadeias de Markov, passeios em grafos, relações de recorrência, modelos populacionais e computação gráfica. Por exemplo, uma entrada de uma matriz de adjacência elevada a n pode contar passeios de comprimento n entre dois vértices. A potência zero de toda matriz quadrada é definida como a matriz identidade do mesmo tamanho. A identidade tem uns na diagonal principal e zeros nas demais posições, e multiplicar por ela não altera uma matriz. Essa convenção preserva as regras dos expoentes, como A elevada a m multiplicada por A elevada a zero ser igual a A elevada a m. Uma potência negativa usa a matriz inversa. A elevada a menos um é a inversa de A, e A elevada a menos n é a inversa elevada a n positivo. Isso só é possível quando A não é singular. Se a eliminação não encontrar um pivô diferente de zero, a matriz não possui inversa e a calculadora informa que a potência negativa solicitada não está definida. Esta calculadora usa exponenciação por quadrados em vez de executar cada multiplicação separadamente. Ela eleva a base atual ao quadrado e usa seu valor apenas quando o dígito binário correspondente do expoente é um. Isso reduz o número de multiplicações de matrizes de aproximadamente n para aproximadamente o logaritmo de n, viabilizando expoentes maiores. Para expoentes negativos, a eliminação de Gauss-Jordan com pivoteamento parcial calcula primeiro a inversa. Os resultados são arredondados apenas na exibição, reduzindo ruídos de ponto flutuante sem perder precisão útil. Insira inteiros ou decimais, com vírgulas entre colunas e ponto e vírgula entre linhas.