Calculadora de matriz de cofatores

Encontre os nove menores com sinal de uma matriz 3×3 e seu determinante para calcular a adjunta e a inversa.

Calcular matriz de cofatores 3×3

Informe todos os elementos para calcular a matriz completa de menores com sinal.

Elementos da matriz

Sobre matrizes de cofatores

A matriz de cofatores substitui cada elemento de uma matriz quadrada pelo seu menor com sinal. Para um elemento na linha i e coluna j, elimine essa linha e coluna e calcule o determinante restante. Depois aplique o sinal positivo ou negativo conforme sua posição no padrão de tabuleiro. Em uma matriz 3×3, são nove cálculos de determinantes 2×2 organizados em uma nova matriz 3×3. O padrão começa positivo no canto superior esquerdo e alterna em cada linha e coluna. A primeira linha usa mais, menos, mais; a segunda, menos, mais, menos; e a terceira, mais, menos, mais. Aplicar o sinal após calcular cada menor é essencial. Um erro comum no cálculo manual é apresentar a matriz de menores e esquecer as quatro posições negativas. As matrizes de cofatores conectam operações fundamentais da álgebra linear. Sua transposição produz a adjunta. Se o determinante original for diferente de zero, dividir a adjunta por ele fornece a inversa. O produto escalar de qualquer linha original pela linha correspondente de cofatores dá o determinante; com uma linha diferente de cofatores, dá zero. Essas identidades ajudam a conferir o resultado. O determinante exibido abaixo da matriz usa os mesmos cofatores. Se for zero, não existe inversa, mas a matriz de cofatores continua bem definida. Algumas matrizes singulares têm cofatores não nulos, enquanto matrizes de posto suficientemente baixo podem ter todos os cofatores iguais a zero. São aceitos valores decimais, e os cálculos ocorrem antes do arredondamento para exibição. Cofatores são usados para resolver sistemas lineares pela regra de Cramer, deduzir fórmulas de inversão, encontrar normais a planos, estudar polinômios característicos e demonstrar propriedades de determinantes. Em sistemas numéricos grandes, a redução por linhas e as fatorações costumam ser mais eficientes e estáveis. Em um exercício 3×3, porém, a matriz completa revela a estrutura com clareza. A calculadora lista cada resultado com sinal em sua posição, permitindo transpor diretamente para obter a adjunta e comparar cada elemento com o cálculo manual.

Exemplos de matrizes de cofatores

Estes exemplos mostram como a estrutura da matriz afeta os menores com sinal.

Linhas da matriz	Linhas de cofatores	Observação
[1 2 3], [0 1 4], [5 6 0]	[-24 20 -5], [18 -15 4], [5 -4 1]	O determinante original é 1.
[2 0 0], [0 3 0], [0 0 4]	[12 0 0], [0 8 0], [0 0 6]	Uma matriz diagonal gera uma matriz de cofatores diagonal.
[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]	[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]	A matriz identidade é sua própria matriz de cofatores.

Como calcular uma matriz de cofatores

Informe os nove elementos linha por linha.
Selecione Calcular matriz de cofatores.
Leia cada menor com sinal na posição do elemento original.
Transponha a matriz exibida se precisar da adjunta.

Perguntas frequentes sobre cofatores

A matriz de cofatores é igual à adjunta?

Não, a adjunta é a transposta da matriz de cofatores. É preciso trocar linhas e colunas antes de usá-la na fórmula da inversa.

Como cada cofator é calculado?

Elimine a linha e a coluna do elemento, calcule o determinante 2×2 restante e aplique o sinal alternado. O resultado ocupa a posição original.

Uma matriz singular pode ter cofatores?

Sim, cofatores são definidos mesmo quando o determinante original é zero. Um determinante nulo impede a inversão, mas não o cálculo dos menores com sinal.

Qual padrão de sinais uma matriz de cofatores 3×3 usa?

Os sinais alternam como um tabuleiro, começando positivos no canto superior esquerdo. As linhas são mais-menos-mais, menos-mais-menos e mais-menos-mais.

Como os cofatores produzem uma inversa?

Transponha a matriz de cofatores para formar a adjunta e divida cada elemento pelo determinante original. Isso só funciona se ele for diferente de zero.