Calculadora de normas matriciais

Uma norma matricial resume uma matriz inteira em um número não negativo que descreve seu tamanho. Normas diferentes enfatizam características distintas, então a melhor escolha depende do problema estudado. Elas são fundamentais em álgebra linear, análise numérica, otimização, ciência de dados e engenharia, pois permitem comparar matrizes, medir erros e avaliar a convergência de cálculos iterativos. A norma de Frobenius é a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os elementos. Ela trata a matriz como um único vetor longo, tornando o cálculo intuitivo e de baixo custo. É muito usada em erros de aproximação, processamento de imagens e funções objetivo de aprendizado de máquina. Para uma matriz com elementos 3 e 4 e todos os demais iguais a zero, a norma de Frobenius é 5, pela conhecida relação pitagórica. A norma matricial 1 é a maior soma dos valores absolutos por coluna. Some os valores absolutos de cada coluna e escolha o maior total. A norma infinito faz o equivalente por linha: soma os valores absolutos de cada linha e seleciona o maior total. Essas normas induzidas são especialmente úteis para estimar quanto uma matriz pode amplificar erros vetoriais medidos com as normas vetoriais correspondentes. A norma espectral 2 mede o maior alongamento produzido pela transformação linear. Ela é igual ao maior valor singular ou, de forma equivalente, à raiz quadrada do maior autovalor do produto da transposta pela matriz original. Esta calculadora estima esse autovalor com uma iteração de potência estável. O método é preciso para matrizes reais comuns e retorna zero para a matriz nula. As quatro normas só são zero para a matriz nula, permanecem iguais quando todos os elementos trocam de sinal e obedecem à desigualdade triangular. Em geral, não produzem o mesmo número, mas estão relacionadas por limites que dependem da dimensão. Use Frobenius para uma magnitude total simples, a norma 1 para efeitos por coluna, infinito para efeitos por linha e a norma 2 para alongamento geométrico. Os elementos podem ser positivos, negativos, inteiros ou decimais, e matrizes retangulares são aceitas.