Calculadora de traço de matriz

O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal, que vai do canto superior esquerdo ao inferior direito. Em uma matriz de 2 por 2 com valores diagonais a e d, o traço é simplesmente a mais d. Os elementos fora da diagonal não contribuem diretamente. Isso torna o traço uma das grandezas importantes de uma matriz mais rápidas de calcular. O traço é definido apenas para matrizes quadradas, pois só elas têm uma diagonal principal que associa cada linha à coluna correspondente. O resultado é um escalar e pode ser positivo, negativo ou zero. Um traço igual a zero não significa que a matriz seja nula ou singular; elementos diagonais positivos e negativos podem simplesmente se cancelar. O traço possui várias propriedades algébricas úteis. Ele é linear: o traço de A mais B é igual ao traço de A mais o traço de B, e multiplicar uma matriz por um escalar multiplica seu traço pelo mesmo escalar. Também é invariante sob transformações de similaridade. Matrizes semelhantes representam a mesma transformação linear em bases diferentes, mas seus traços coincidem. Assim, o traço é uma síntese útil que independe das coordenadas. Outra identidade importante afirma que o traço do produto A vezes B é igual ao de B vezes A, sempre que ambos os produtos forem definidos e quadrados. A multiplicação de matrizes não é comutativa, mas o traço permite essa reorganização cíclica. Em produtos mais longos, os fatores podem ser deslocados ciclicamente sem alterar o traço, propriedade muito usada em estatística, otimização e mecânica quântica. O traço também é igual à soma dos autovalores de uma matriz, contados com sua multiplicidade algébrica, mesmo quando são complexos. Ele aparece em polinômios característicos, cálculos de divergência, análise de covariância, valores esperados de formas quadráticas e descrições de estados quânticos. Em equações diferenciais, pode ajudar a caracterizar a expansão ou contração local de um sistema dinâmico. Esta calculadora verifica se todas as linhas têm o mesmo comprimento e se a matriz é quadrada, depois soma diretamente os elementos diagonais. São aceitos inteiros, números negativos e decimais. Como basta uma adição por elemento diagonal, o método continua imediato mesmo com matrizes maiores. O valor exibido é arredondado apenas para eliminar erros insignificantes de ponto flutuante.