Calculadora de forma escalonada reduzida

Transforme uma matriz de 2 por 3 em forma escalonada reduzida com Gauss-Jordan e leia na hora a solução de um sistema linear de duas incógnitas.

Calculadora de matrizes RREF
Insira os seis valores de uma matriz de 2 por 3 da esquerda para a direita.

Sobre a forma escalonada reduzida

A forma escalonada reduzida por linhas, geralmente abreviada como RREF, é uma versão padronizada da matriz que facilita a leitura das informações essenciais. Uma matriz está em RREF quando cada linha não nula começa com um 1 líder, esse 1 é o único elemento não nulo da coluna, os elementos líderes avançam para a direita conforme se desce pelas linhas e todas as linhas nulas ficam na parte inferior. Essas condições garantem uma única forma escalonada reduzida para cada matriz, mesmo que diferentes sequências de operações levem até ela. Esta calculadora aplica a eliminação de Gauss-Jordan a uma matriz de duas linhas e três colunas. O formato é especialmente útil para a matriz aumentada de duas equações lineares com duas incógnitas: as duas primeiras colunas contêm os coeficientes e a última contém as constantes. O algoritmo busca um pivô não nulo, troca linhas quando necessário, divide a linha do pivô para torná-lo um e elimina todos os outros elementos da coluna do pivô. O processo se repete da esquerda para a direita até não ser possível formar outro pivô. Operações elementares de linha não alteram o conjunto de soluções representado por uma matriz aumentada. É permitido trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula ou somar um múltiplo de uma linha a outra. Por exemplo, a matriz com linhas [1, 2, 5] e [3, 4, 11] se reduz a [1, 0, 1] e [0, 1, 2]. Interpretado como equações, o resultado informa diretamente que x é 1 e y é 2. A RREF também revela sistemas sem solução única. Uma linha nula pode indicar equações dependentes e infinitas soluções quando há pelo menos uma variável livre e o sistema é consistente. Uma linha com coeficientes nulos e termo aumentado não nulo representa uma contradição e, portanto, ausência de solução. Além de resolver equações, a forma reduzida ajuda a determinar o posto, identificar colunas pivô e livres, testar independência linear e encontrar bases de espaços vetoriais. Os valores exibidos são arredondados apenas para facilitar a leitura; a eliminação usa toda a precisão de ponto flutuante do JavaScript.

Exemplos de RREF

Estas matrizes ilustram sistemas com solução única, dependentes e já reduzidos.

Matriz de entradaRREFInterpretação
[1, 2, 5]; [3, 4, 11][1, 0, 1]; [0, 1, 2]A solução única é x = 1 e y = 2.
[1, 2, 3]; [2, 4, 6][1, 2, 3]; [0, 0, 0]A segunda equação é dependente, restando uma variável livre.
[1, 0, 4]; [0, 1, -2][1, 0, 4]; [0, 1, -2]A matriz já está reduzida e fornece x = 4 e y = -2.

Como calcular a RREF

  1. Insira cada valor na posição de linha e coluna indicada.
  2. Use a terceira coluna para as constantes ao representar duas equações lineares.
  3. Selecione Calcular RREF para executar a eliminação de Gauss-Jordan.
  4. Leia os pivôs, as linhas nulas e os valores das soluções na matriz reduzida.

Perguntas frequentes sobre a calculadora RREF

Qual é a diferença entre REF e RREF?

A forma escalonada exige zeros abaixo de cada pivô; a forma reduzida também exige zeros acima. Assim, a RREF mostra as soluções de forma mais direta e é única para cada matriz.

A RREF resolve equações simultâneas?

Sim. Insira os coeficientes e as constantes como matriz aumentada. Um pivô em cada coluna de variável fornece uma solução única, que pode ser lida na última coluna.

O que significa uma linha de zeros?

Significa que uma equação original não acrescentou informação independente. Se uma coluna de variável não tiver pivô, o sistema consistente terá pelo menos uma variável livre e infinitas soluções.

Como a calculadora trata os valores decimais?

A eliminação usa números de ponto flutuante de dupla precisão. Valores próximos de zero são ajustados para zero, e os resultados aparecem com até oito casas decimais para facilitar a leitura.

Quais operações de linha são permitidas?

Você pode trocar linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo ou somar um múltiplo de uma linha a outra. Cada operação preserva o conjunto de soluções do sistema linear representado.