Decomponha uma matriz real não singular 2 por 2 em um fator ortogonal e outro simétrico positivo definido.
Calcular a decomposição polar da matriz
Insira as quatro entradas de uma matriz A não singular 2 por 2.
Sobre a decomposição polar de matrizes
A decomposição polar expressa uma matriz real A como o produto QP. Para uma matriz quadrada não singular, Q é ortogonal e P é simétrica positiva definida. Uma matriz ortogonal preserva comprimentos e ângulos, representando uma rotação ou reflexão. O fator positivo estica o espaço ao longo de direções principais perpendiculares sem acrescentar rotação. Essa separação é o equivalente matricial de escrever um número complexo não nulo como uma magnitude multiplicada por uma direção unitária.
Esta calculadora trabalha com matrizes reais não singulares de dois por dois. Primeiro, forma a matriz de Gram simétrica, multiplicando a transposta de A por A. Sua raiz quadrada positiva é P. Para uma matriz positiva definida de dois por dois, a raiz pode ser calculada diretamente pelo traço e pelo determinante, sem aproximação iterativa. O fator Q resulta de A multiplicada pela inversa de P. As entradas exibidas são arredondadas para seis casas decimais, mas os cálculos internos mantêm a precisão dupla do JavaScript.
Os fatores têm identidades úteis para conferir a resposta. Multiplicar a transposta de Q por Q produz a identidade, salvo erros de arredondamento. P é igual à própria transposta e tem autovalores positivos. Por fim, Q multiplicada por P reconstrói a matriz original A. Para a identidade, ambos os fatores são a identidade. Em uma matriz que combina um quarto de volta com escalas diferentes nos eixos, Q isola a rotação e P registra os dois fatores de alongamento.
A decomposição polar aparece em mecânica, computação gráfica, análise numérica, otimização e estatística. Na mecânica dos meios contínuos, separa a deformação em rotação rígida e alongamento puro. Na computação gráfica, ajuda a extrair a rotação de uma transformação que também contém escala ou cisalhamento. O problema de Procrustes ortogonal usa o fator polar para encontrar a matriz ortogonal mais próxima, e algoritmos numéricos usam iterações polares quando é importante preservar a estrutura geométrica.
Uma matriz singular também pode admitir decomposição polar, mas seu fator ortogonal pode não ser único e o cálculo exige convenções adicionais. Esta calculadora limita a entrada a matrizes não singulares para que P tenha inversa e a fatoração seja inequívoca. Matrizes muito mal condicionadas podem ampliar erros de ponto flutuante quando uma direção de alongamento está próxima de zero. Use o resultado como apoio didático e computacional e confira trabalhos numéricos críticos com software de precisão arbitrária ou de dimensões matriciais maiores.
Exemplos de decomposição polar
Matriz A
Fatores
Interpretação
[1, 0] [0, 1]
Q = I, P = I
A identidade não contém rotação nem alongamento.
[0, -2] [3, 0]
Q = [0, -1] [1, 0], P = [3, 0] [0, 2]
Uma rotação de 90 graus seguida de alongamento desigual.
[2, 0] [0, 4]
Q = I, P = [2, 0] [0, 4]
Uma matriz diagonal positiva já é um alongamento puro.
Como calcular a decomposição polar
Insira as entradas da matriz por linha.
Selecione Calcular decomposição polar.
Consulte a matriz ortogonal Q e a matriz simétrica positiva P.
Multiplique Q por P para verificar se os fatores reconstroem a matriz inserida.
Perguntas frequentes sobre decomposição polar
O que a decomposição polar separa?
Ela separa uma transformação linear invertível em uma rotação ou reflexão ortogonal e um alongamento simétrico positivo. O produto reproduz a transformação original.
Qual é a relação com a forma polar complexa?
Ambas dividem um objeto em uma parte semelhante à magnitude e outra à direção. Nas matrizes, o fator positivo generaliza a magnitude e o ortogonal generaliza uma direção complexa unitária.
Como conferir o fator Q?
Multiplique a transposta de Q por Q. O resultado deve ser a matriz identidade, considerando o arredondamento para seis casas decimais exibido pela calculadora.
Por que matrizes singulares são rejeitadas?
O método direto calcula Q multiplicando A pela inversa de P. Uma matriz singular torna P não invertível e pode não ter um fator ortogonal único.
P é sempre diagonal?
Não. P é simétrica positiva definida, mas pode ter entradas não nulas fora da diagonal. Só é diagonal quando as direções principais de alongamento coincidem com os eixos.