Calculadora de decomposição LU

A decomposição LU expressa uma matriz quadrada A como o produto de L por U. L é triangular inferior: todos os elementos acima da diagonal principal são zero. U é triangular superior: todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Na convenção de Doolittle usada aqui, todos os elementos diagonais de L são iguais a um. Multiplicar os dois fatores exibidos reconstrói a matriz original, sujeito apenas ao arredondamento usual de ponto flutuante. A fatoração é construída pela eliminação de Gauss. Cada multiplicador normalmente usado para zerar um elemento abaixo de um pivô é armazenado em L. A matriz escalonada que se forma torna-se U. Essa organização preserva o trabalho da eliminação em vez de descartá-lo. Depois de obter L e U, a mesma matriz de coeficientes pode ser reutilizada para resolver sistemas com vários termos independentes, de forma muito mais eficiente que repetir a eliminação desde o início. Para resolver A × x = b, primeiro resolva L × y = b por substituição progressiva. Em seguida, resolva U × x = y por substituição regressiva. Sistemas triangulares são simples porque cada equação sucessiva introduz apenas uma nova incógnita. Os fatores LU também ajudam a calcular determinantes: com diagonal unitária em L, o determinante é o produto dos elementos diagonais de U. A inversão de matrizes e as simulações numéricas também usam essa estrutura como componente básico. Esta calculadora aceita uma notação matricial compacta. Separe os valores de cada linha por vírgulas ou espaços e coloque ponto e vírgula entre as linhas. Cada linha deve conter tantos elementos quanto o número de linhas, pois essa forma de decomposição LU exige uma matriz quadrada. Valores negativos e decimais são aceitos. Os resultados são arredondados apenas na exibição; a eliminação usa aritmética de dupla precisão do JavaScript. A implementação usa decomposição de Doolittle sem pivotamento, portanto cada pivô encontrado na eliminação deve ser diferente de zero. Algumas matrizes perfeitamente invertíveis começam com um pivô zero e precisam de permutação de linhas antes da fatoração. Em uma biblioteca numérica completa, essa operação é representada por uma matriz de permutação P na relação P × A = L × U. Se houver erro de pivô, reordene as linhas adequadas antes de inserir a matriz ou use um solucionador com pivotamento. Para exemplos didáticos bem condicionados e matrizes com pivôs diagonais utilizáveis, a fatoração exibida é clara e pode ser conferida imediatamente.