Calculadora de decomposição QR

A decomposição QR fatora uma matriz A no produto Q vezes R. As colunas de Q são ortonormais: cada uma tem comprimento um e colunas distintas são perpendiculares entre si. R é triangular superior, de modo que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para uma matriz quadrada de posto completo, multiplicar as matrizes Q e R exibidas reconstrói a matriz original, exceto por pequenas diferenças de arredondamento decimal. Esta calculadora realiza essa fatoração para uma matriz real de 2 por 2. O cálculo usa o processo clássico de Gram-Schmidt nas colunas de A. Primeiro, mede o comprimento euclidiano da primeira coluna. Dividir essa coluna pelo seu comprimento cria o primeiro vetor unitário de Q, enquanto o comprimento se torna o primeiro elemento diagonal de R. Em seguida, a segunda coluna é projetada sobre o primeiro vetor unitário. Subtrair essa projeção deixa um vetor perpendicular, que é normalizado para criar a segunda coluna de Q. O coeficiente de projeção e o comprimento do segundo vetor completam a matriz triangular superior R. A fatoração QR é uma ferramenta central da álgebra linear numérica. Ela auxilia no ajuste por mínimos quadrados, em que um sistema sobredeterminado tem mais equações do que incógnitas, e aparece em algoritmos para encontrar autovalores. Transformações ortogonais são numericamente vantajosas porque preservam comprimentos e tendem a amplificar menos os erros de arredondamento do que manipulações diretas. Embora esta página se concentre em duas dimensões para facilitar a análise de cada etapa, a mesma ideia de ortogonalização de colunas se estende a matrizes retangulares maiores. As colunas de entrada devem ser linearmente independentes para que a calculadora produza dois vetores unitários. Uma primeira coluna nula não pode ser normalizada; se a segunda for apenas um múltiplo da primeira, não restará uma direção perpendicular após a projeção. Essa matriz tem posto deficiente e não admite a forma QR completa usada aqui. Decomposições QR também podem diferir nos sinais: inverter o sinal de uma coluna de Q e da linha correspondente de R mantém o produto inalterado. Esta calculadora escolhe comprimentos diagonais não negativos em R, oferecendo uma convenção estável e previsível para comparar resultados.