Calculadora de subconjuntos

Um subconjunto é uma coleção cujos elementos pertencem todos a outro conjunto. Se um conjunto contém n elementos distintos, cada elemento tem duas possibilidades independentes ao formar um subconjunto: ser incluído ou excluído. Multiplicar essas escolhas resulta em 2 elevado a n subconjuntos no total. Essa contagem inclui o conjunto vazio e o próprio conjunto original, ambos subconjuntos válidos pela definição matemática padrão. Às vezes, o problema pede apenas subconjuntos com exatamente k elementos. Sua quantidade é o coeficiente binomial C(n,k), lido como n escolhe k. A fórmula com fatoriais é n fatorial dividido pelo produto de k fatorial e (n-k) fatorial. A calculadora avalia a mesma razão com um produto iterativo, evitando fatoriais intermediários desnecessariamente enormes e retornando um inteiro exato. Escolher dois alunos entre cinco, por exemplo, dá C(5,2) = 10 pares possíveis. Um subconjunto próprio é qualquer subconjunto que não seja igual ao conjunto original completo. Portanto, um conjunto de n elementos tem 2 elevado a n menos 1 subconjuntos próprios. Algumas fontes introdutórias usam uma convenção mais restrita, que exclui tanto o conjunto original quanto o vazio e chama os restantes de subconjuntos próprios não vazios. Nessa convenção, a contagem é 2 elevado a n menos 2 quando n é positivo. Esta calculadora segue a definição comum que admite o conjunto vazio como próprio, mantendo a exclusão do próprio conjunto original. A ordem não importa em um subconjunto. Selecionar Alice e Bruno produz o mesmo subconjunto que selecionar Bruno e Alice. Isso diferencia combinações de permutações, nas quais a ordem cria resultados distintos. Os elementos também são considerados distintos. Se uma lista repete algum valor, remova as duplicatas para convertê-la em um conjunto verdadeiro antes de contar n. A calculadora pede cardinalidades, e não valores individuais, porque nomes e valores não mudam a contagem. Contagens de subconjuntos aparecem em combinatória, probabilidade, ciência da computação, análise de dados e matemática discreta. Elas descrevem seleções de atributos, comissões, estados binários, espaços de busca e combinações de opções. Os números crescem rapidamente: um conjunto de 20 elementos já tem 1,048,576 subconjuntos. A aritmética inteira exata evita erros de arredondamento de ponto flutuante em valores grandes. As entradas são limitadas a tamanhos administráveis para manter o navegador responsivo, mas as fórmulas são as mesmas para todo conjunto finito.